|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ข้อสอบปราบเซียน ยากได้ใจมากมาย
รบกวนท่านเซียนทั้งหลายประลองฝีมือแก้ปัญหาร่วมกับข้าพเจ้าทีค่ะลองดูกันเลยนะคะ
1.กำหนดให้ a,b และc เป็นจำนวนเต็ม พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า (a+b) l c และ a l c แล้ว b l c ค. ถ้า a l bc และ (a,b)=1 แล้ว a l c ข. ถ้า a l (b+c) และ (a,c)=1 แล้ว a l c ง. ถ้า a l bc แล้ว a l b หรือ a l c มีข้อถูกกี่ข้อและข้อใดบ้างพร้อมแจงเหตุผลหรือยกตัวอย่างค้าน 2.กำหนดให้ $ A = \bmatrix{1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -1} $ แล้ว $ det(adj(A^{-1}) $ มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. ค่าต่ำสุดของ$ 4cos^{2}x - cosx $มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. จากระบบสมการ $ (log_{12}x)(log_{2}x+log_{2}y) = log_{2}x $ $ (log_{2}x)log_{3}(x+y) = 3log_{3}x$ แล้ว l x- y l มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. มีจำนวนจริงบวก x ที่สอดคล้องกับสมการ $25^{x} + 10^{x}-4^{x} = 0$ ข. มีจำนวนจริงลบ x ที่สอดคล้องกับสมการ $25^{x} - 10^{x}-4^{x} = 0$ ข้อใดถูกข้อใดผิดพร้อมให้เหตุผล 6. กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจำนวนของคู่อันดับ (p,q) ที่ทำให้ pq l (150-5p) มีกี่คู่อันดับ 7. กำหนดให้ $f(x) = x^{3}+3x^{2}+kx-5$ เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ถ้าจำนวนเต็มบวก c เป็นรากหนึ่งของฟังก์ชันพหุนาม f(x) แล้วค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ l k+c l คือเท่าใด |
#2
|
|||
|
|||
มีต่อนะคะ
8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า $A = \bmatrix{100 & sin^{2}a & cos^{2}a \\ 200 & 2sin^{2}b & 2cos^{2}b \\ 300 & 3sin^{2}c & 3cos^{2}c} $ แล้ว det(A) = 0 ข. ถ้า $A = \bmatrix{-2 & 2 \\ 3 & -2} $แล้ว $det(-3A^{4}(A^{-1})^{t}(A-A^{t})) = -72$ ข้อใดถูกข้อใดผิดพร้อมทั้งให้เหตุผล 9. สุ่มหยิบลูกบอลที่มีหมายเลข 1 ถีงหมายเลข 11 กำกับอยู่ โดยสุ่มหยิบมา 4 ลูก พร้อมกัน จำนวนวิธีที่ลูกบอลที่หยิบได้มีผลคูณขอวหมายเลขที่กำกับอยู่เป็นเลขคู่แต่ผลบวกของหมายเลขที่กำกับอยู่เป็นเลขคี่มีค่าเท่ากับเท่าใด 10. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน AC ยาว 12 หน่วย และด้าน BC ยาว 16 หน่วย เส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด A และจุด B ไปยังด้าน BC และ AC ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด O แล้วด้าน AB ยาวเท่ากับเท่าใด 11. กำหนดให้สมการวงรี $16x^{2}+25y^{2}-200y = 9$ มีจุด $F_{1}$ และ $F_{2}$เป็นจุดโฟกัส ภ้า A เป็นจุดบนวงรีที่ไม่อยู่บนแกนพิกัดแล้วทำให้ $F_{1}F_{2}A$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้วระยะทางจากจุด A ไปยังแกนเอกยาวเท่ากับเท่าใด 12. ในการประกวดร้องเพลงรอบสุดท้ายมีผู้เข้ารอบ 3 คนและแต่ละคน จะต้องเลือกร้องเพลง 1 เพลงจาก 5 เพลงที่กองประกวดกำหนดให้ ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้ารอบอย่างน้อย 2 คนเลือกร้องเพลงเดียวกันเท่ากับเท่าใด 13. กำหนดให้ $(a_{n})$ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี $a_{7} = 2619$ และ $a_{11} = 2551$ค่าที่น้อยที่สุด ของ $ l a_{k} + a_{k+1} l$ เป็นเท่าใด 14. กำหนดให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้สมการ $x^{4}+(k-4)x^{3}+(38-4k)x^{2}_(13k-100)x+325 = 0$ มีรากซ้ำและมีจำนวนเชิงซ้อน 2+3i เป็นราก แล้วค่าของ k ที่มากสุดเท่ากับเท่าใด คือจริงแล้วมีเยอะกว่านี้ค่ะ แต่ที่พิมมานี่คือพยายามคิดเท่าไหร่ก็คิดไม่ออก เราลองมาระดมสมองกันดีกว่านะคะ |
#3
|
||||
|
||||
ข้อ 2. นะครับ $det(adjA)=$detA^(n-1)$ เมื่อ n คือ มิติของเมตริกซ์ A
จากโจทย์เป็นมิติ 3x3 ดังนั้น n=3 ดังนั้น detA = 10 แล้ว $det(adjA)=$detA^2$ $det(adjA)=100$ |
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณ คุณกระบี่.. มากค่ะที่ช่วยคิด
แต่ว่าดิฉันยังไม่เคลียร์น่ะค่ะ เพราะว่าโจทย์ถามหา $det(adjA^{-1}) $ น่ะค่ะ แต่เราได้ค่า det(adj(A))มาจะต้องทำไงต่อคะ |
#5
|
||||
|
||||
พอดีรีบๆครับเลยไม่ได้ดูให้ละเอียด
$\det(\rm{adj} A^{−1})=\frac{1}{\det(\rm{adj} A)}=\frac{1}{100}$ 06 มีนาคม 2009 15:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 3. จะได้ cos X = 1/8 และค่าต่ำสุดคือ -1/16
|
#7
|
||||
|
||||
ข้อ 10. AB ยาว 12 หน่วยครับ
|
#8
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากเลยค่ะข้อเมทริกซ์เคลียร์มากเลย
แต่อีกสองข้อถ้าคุณพี่พอมีเวลา รบกวนบอกวิธีหาทีนะคะ เพราะว่าคำตอบหนูรู้หมดแล้วน่ะค่ะทุกข้อ แต่อยากรู้วิธีคิดค่ะ ใครผ่านไปผ่านมารบกวนให้ความกระจ่างทีนะค๊า |
#9
|
||||
|
||||
ข้อ 3. จัดรูปโดยทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ครับ
f(x)= $4(cosx)^2-cosx+frac{1/16}-frac{1/16} จะได้ f(x)= $(2cosx-frac{1/4})^2-frac{1/16} |
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณค่า อีกหนึ่งข้อเคลียร์แล้ว เย้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ
ทีนี้ข้อสิบค่ะ |
#11
|
||||
|
||||
ข้อสอบโควตานี่คับ ผมก้เปนคนนึงที่ได้สอบ
ขอทำข้อที่ชอบก่อนละกันนะครับ 8. ก. ถูกครับ เพราะ $100(a_{i2}+a_{i3})=a_{i1}$ ทุก $i=1,2,3$ ดังนั้น $\det A=0$ ข. ก็ถูกครับ 14. เห็นชัดว่าเปนพหุนามเหนือ $Z$ ให้ $t$ เป็นรากที่เหลือที่ตามหา ดังนั้นคำตอบของสมการนี้ต้องเป็น $2-3i,2+3i,t$ แน่นอน (โดยมี t เป็นรากซ้ำสองตัว) ดังนั้น โดย ทบ. จึงได้ $(2-3i)+(2+3i)+2t=-(k-4)$ แล้วก็ $(2-3i)(2+3i)t^2=325$ เมื่อเรารู้ $t$ ก็หา k ได้ครับ 10. ปีทากอรัสธรรมดาครับ 13. จาก $a_n=a_i+(n-i)d$ เราได้ $a_7=a_{11}-4d\Rightarrow 2619=2551-4d\Rightarrow d=-17$ พยายามทำให้ค่า $a_k+a_{k+1}$ ให้อยู่ในรูปที่เรารู้ค่า ในที่นี้ขอทำให้อยู่ในพจน์ $a_{11}$ ละกันครับ $a_k+a_{k+1}=(a_{11}+(k-11)d)+(a_{11}+(k-10)d)=2a_{11}+(2k-21)d=2a_{11}-(2k-21)|d|$ ค่านี้น้อยๆ แสดงว่าผลต่างน่าจะต้องใกล้เคียงกันมากๆ ต้องดู $k>10$ ที่ทำให้ $(2k-21)|d|$ ใกล้เคียง $2a_{11}$ มากที่สุด
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#12
|
|||
|
|||
ขอบคุณ คุณ Brownian นะคะ
แต่อย่างในข้อที่ 8 มีใครมีวิธีคิดวิธีอื่นไม๊คะ เพราะดิฉันคิดว่า เด็กน้อยบ้านนอกส่วนใหญ่ นึกถึงทฤษฎีบทอย่างนี้ไม่ได้หรอกค่ะ ซึ่งจริงๆแล้วถ้านั่งถึกเช๊คหา det ตรงๆก็ได้คำตอบอยู่ แต่ดิฉันแค่ต้องการมาแชร์วิธีกันกับเพื่อนๆน่ะค่ะ ลักษณะการคิดของคุณ brownian เป็นการคิดแบบ เซียนที่บรรลุแล้ว ขอนับถือค่ะ |
#13
|
|||
|
|||
รบกวนผู้รู้ช่วยตรวจวิธีทำข้อ 13ให้ทีนะคะ
เนื่องจาก $a_{7}=2619$ และ $a_{11}=2551$ เพราะว่า $a_{11}=a_{7}+4d$ ดังนั้น $2551 = 2619+4d$ จะได้ $d=-17$ จาก $a_{k}=a_{7}+(k-7)d$ $a_{k+1}=a_{7}+(k-6)d$ จะได้ว่า $a_{k}=2619+(k-7)(-17)$ $a_{k+1}=2619+(k-6)(-17)$ นั่นคือ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l = l 5459-34k l จะเห็นว่า ที่ k = 161 ทำให้ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l = 15 ดังนั้นค่าที่น้อยสุด ของ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l คือ 15 06 มีนาคม 2009 20:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ vespa1 |
#14
|
|||
|
|||
กำหนดให้ a,b และc เป็นจำนวนเต็ม พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า (a+b) l c และ a l c แล้ว b l c ( l เครื่องหมายนี้เป็นเครื่องหมายหารลงตัวนะฮะ a l b แปลว่า b ถูกหารด้วย a ลง คือ b/a ลง) c จะหารด้วย a+b ลง ก็ต่อเมื่อ c ถูกหารด้วย a ลง และ หารด้วย b ลง โดยที่ a และ b ไม่ใช่ 1 หรือ -1 และมีค่าไม่เกิน l c l เช่น 9/ 3+6 หรือ c ไม่ถูกหารด้วย a และ b ลง แต่ a+b รวมกันแล้ว เป็นตัวประกอบของ c เช่น 7/ 4+3 ดังนั้นข้อ ก. เข้าข่ายกรณีแรก แต่ว่ามีกรณีค้านครับ ตามข้อยยกเว้น นั่นคือ ถ้า a = 1 b= 6 c = 7 จะทำให้ไม่จริงแสดงว่าข้อ 1 เป็นเท็จ ข. ถ้า a l (b+c) และ (a,c)=1 แล้ว a l c (a,c) คือ หรม.ของ a กับ c ซึ่งถ้า เท่ากับ 1 หมายความว่า a กับ c ไม่มีตัวร่วมตัวประกอบซึ่งกันและกันนั่นคือ a หารด้วย c ไม่ลง และ c หารด้วย a ไม่ลง โดยที่ a กับ c ไม่เป็น 1 หรือ -1 แต่ถ้า a l c ลงตัวในเมื่อ (a,c)=1 แสดงว่า a ต้องเป็น 1 เท่านั้น แต่นี่มันเป็นเพียงแค่ตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งตัวอย่างค้านจากข้อนี้คือ ให้ b = 2 c = 7 a = 3 เห็นได้ว่า กำหนดเลขตามโจทย์ได้ถูกต้อง แต่ค้านกับ ผล เพราะ c หารด้วย a ไม่ลง ข้อนี้จึง ผิด ค. ถ้า a l bc และ (a,b)=1 แล้ว a l c ข้อนี้ แนวคิดเหมือน 2 ข้อด้านบน bc สมมติให้ เป็น x ( bc = x ) แล้วกัน จะได้ว่า a l x แสดงว่า a ต้อง เป็นตัวประกอบของ x ซึ่ง มี b และ c เป็นตัวประกอบนั่นคือ b หรือ c ตัวใดตัวหนึ่ง(หรือทั้งสองตัว) จะต้องมี a เป็นตัวประกอบ เนื่องจาก (a,b)=1 จะได้ว่า a l c เท่านั้น เช่น a = 7 b = 19 c = 14 ในข้อนี้ ถ้า a = 1 ก็ยังถูก เช่น a = 1 b = 5 c = 99 ก็ยังถูก ข้อนี้จึงเป็นจริงครับ ง. ถ้า a l bc แล้ว a l b หรือ a l c ข้อนี้อ้างได้จากข้อ ค. ตัวอย่างค้านเช่น a = 6 b = 9 c = 8 ไม่จริง โจทย์แนวนี้ให้ใช้วิธีการสุ่มตัวเลขจะง่ายที่สุด โดยหลักคือ สุ่ม คู่-คู่ คี่-คี่ คู่-คี่ แค่ถ้ารู้หลักการของมัน อาจจะไม่ต้องสุ่มก็ได้ ก็ถูก 1 ข้อครับ ยากนิดนะ |
#15
|
|||
|
|||
10.ปีทากอรัสธรรมดาจริงๆครับ ผม ให้ k = AB และ ลากจุดกึ่งกลาง BC และ AC เชื่อมกัน จะได้ว่าตรงนั้น จะยาว k/2 จากสามเหลี่ยมคล้าย
จะได้ว่า k^2+ (k^2)/4 = 6^2+8^2 นะคับ ได้ k = 4 รูด 5 ครับ |
|
|