สอวน สวนกุหลาบฯ 2554

[Amankris]

#105
ลองวาดรูปดูครับ

[Metamorphosis]

ตามที่ gon hint ครับ

[กิตติ]

ลองใช้ modดูแล้วกัน ชักจะลืมๆไปแล้ว
$2011 \equiv 1 \pmod{10} $
$2011^2 \equiv 1 \pmod{10} $
$2^{20} \equiv 6 \pmod{10} $
$2^{2000} \equiv 6 \pmod{10} $
$2^{10} \equiv 4 \pmod{10}$
$2^{2010} \equiv 4 \pmod{10} $
$2^{2011} \equiv 8 \pmod{10} $

$2011^2+2^{2011} \equiv 9 \pmod{10} $
$(2011^2+2^{2011})^2 \equiv 1 \pmod{10} $

จาก $2 \equiv 2 \pmod{10} $
$2^2 \equiv 4 \pmod{10} $
$2^3 \equiv 8 \pmod{10} $
$2^4 \equiv 6 \pmod{10} $......จากนี้จะเริ่มวนรอบละ 4
ถ้าเราหาได้ว่าเศษจากการหาร $k$ ด้วย 4 เท่ากับเท่าไหร่ก็จะได้เศษจากการหารด้วย $10$

$2011 \equiv 3 \pmod{4} $
$2011^2 \equiv 1 \pmod{4} $.....
สำหรับ $2^{2011}$ หารด้วย 4 ลงตัวอยู่แล้วไม่ต้องหา ดังนั้นได้เศษจากการหาร $k$ ด้วย 4 ได้เท่ากับ $1$.....ได้เศษจากการหาร $2^k$ ด้วย $10$ ได้เท่ากับ $2$

ดังนั้น $k^2+2^k$ หารด้วย $10$ เหลือเศษเท่ากับ $2+1=3$

[Metamorphosis]

ขอ sol ข้อ 12 ด้วยครับ ขอบคุณครับ

[กิตติ]

ผมว่าลองแปลง$\frac{a}{b} +\frac{14b}{9a} $
ไปเป็น $\frac{(3a-7b)(3a-2b)}{9ab}+3 $
น่าจะพอแยกกรณีไปได้

[nooonuii]

12. $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}=\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$

ดังนั้น $9ab\mid 9a^2+14b^2$

เนื่องจาก $(a,b)=1$ จะได้ว่า $a\mid 14$ และ $b\mid 9$

ดังนั้น $b\in\{1,3,9\}$

ถ้า $b=1$ เราจะต้องได้ว่า $\dfrac{14}{9a}$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้า $b=9$ เราจะต้องได้ว่า $\dfrac{a}{9}$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปไม่ได้อีกเช่นกัน

ดังนั้น $b=3$

จึงได้ $(a,b)=(1,3),(2,3),(7,3),(14,3)$

[RT OSK]

ให้ $\frac{a}{b} + \frac{14b}{9a} = k$
ได้ $9a^2 - 9kab +14b^2 = 0$
แยกตัวประกอบที่ตรงกับเงื่อนไข ได้ 2 แบบ
$(3a - b)(3a -14b) = 0$ กับ
$(3a - 2b)(3a -7b) = 0$
$3a = b$ จะได้ $a = 1, b = 3$
...
$\therefore$ ได้ทั้งหมด 4 คำตอบ

[RT OSK]

#53

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 2 ดูจากกราฟ 3|x| + 2|y| = 3 ก็พอครับ มันเป็นการเลื่อนแกนทางขนานย้ายตำแหน่งจุดศูนย์กลางเฉย ๆ

กรณีที่ $x$, $y$ เป็น $+$
จะได้ $3x + 2y =3$
วาดกราฟได้ สามเหลี่ยมที่มี ฐาน 1, สูง 1.5
ได้พื้นที่ทั้งหมด
$(\frac{1}{2}\times 1\times 1.5)\times 4$
ตอบ 3

[skybaron]

ข้อ 12 ตอบ 4
ข้อ 20 ตอบ 24789
ข้อ 26 ตอบ 90 องศา
คับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ไม่ทราบว่าจะมีคนเฉลยข้อ ๑ ให้ผมดูได้ไหมครับ

[wee]

สำหรับข้อที่ 2 ถ้าเฉลยโดยใช้วิธีวาดกราฟของอสมการแบบไม่ใช้ความรู้เรื่องการเลื่อนแกนทางขนานแบบที่ คุณ gon
บอกก็สามารถทำได้นะครับแต่ค่อนข้างจะเสียเวลามากพอสมควร ซึ่งผมได้ใช้โปรแกรมวาดกราฟทำให้ดู
หลังจากนั้นเราก็จะสามารถหาพื้นที่บริเวณ R ได้โดยใช้
$พื้นที่บริเวณ R =\frac{1}{2}\timesผลคูณของเส้นทแยงมุม$
$พื้นที่บริเวณ R =\frac{1}{2}\times2\times 3=3 ตารางหน่วย$

[wee]

และสำหรับข้อที่ 2 ถ้าเราใช้วิธีแบบที่คุณ gon บอกนั้น
จะพบว่าเราสามารถหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว
โดยการพิจารณากราฟของ $3|x| + 2|y| \leqslant 3$
แล้วเราจะได้ว่า
$พื้นที่บริเวณ R = \frac{1}{2}\times ผลคูณของเส้นทแยงมุม = \frac{1}{2}\times 2\times 3=3 ตารางหน่วย$
ลองดูที่กราฟครับจะทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น

[Amankris]

#115
ข้อ 1 วัดความเข้าใจในเรื่อง Domain และ Range ของฟังก์ชัน

ถ้าเข้าใจก็จะทำได้ง่ายๆเลยนะครับ

[wee]

สำหรับข้อที่ 1 วิธีการแก้ปัญหาของผมคือ ผมใช้วิธีการมองหาความสัมพันธ์ดังนี้ครับ
สำหรับในส่วนแรกจะเป็นการหาค่าของ$โดเมนของ g$
จาก $f:[0,2]\rightarrow[0,1]$ และ $g(x)=1-f(x+1)$
จะพบว่า โดเมนของฟังก์ชัน $f$ คือ $[0,2]$ และเนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง
แสดงว่า $f(x+1)$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $0\leqslant x+1\leqslant 2$ นั่นคือ $-1\leqslant x\leqslant 1$
ทำให้เราได้ว่า โดเมนของ $g$ คือ $[-1,1]$........(สำหรับคนที่งง ลองหาค่าของ $g(-1)$ และ $g(1)$ ดูครับ)
สำหรับในส่วนต่อไปจะเป็นการหาค่าของ$เรนจ์ของ g$
เนื่องจาก เรนจ์ของฟังก์ชัน $f$ คือ $[0,1]$
ทำให้เราสามารถบอกได้โดยทันทีว่า$f(x+1)$จะ้ต้องมีค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ$1$และจะ้ต้องมีค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ$0$
แต่เนื่องจาก$g(x)=1-f(x+1)$
เพราะฉะนั้นถ้าเราให้$f(x+1)=1$ เราจะได้ว่า $g(x)=1-1=0$
และถ้าเราให้$f(x+1)=0$ เราจะได้ว่า $g(x)=1-0=1$
แสดงว่าค่าของฟังก์ชัน $g(x)$ จะต้องอยู่ภายในช่วงปิด $[0,1]$
ดังนั้น เราจะได้ว่าเรนจ์ของ$g$ คือ $[0,1]$
$สรุปคือ โดเมนของ g คือ [-1,1] และ เรนจ์ของ g คือ [0,1]$
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้โดเมนของ $g$ คือ $[a,b]$ ดังนั้น $a=-1$ และ $b=1$
และเนื่องจากโจทย์กำหนดให้เรนจ์ของ $g$ คือ $[c,d]$ ดังนั้น $c=0$ และ $d=1$
ดังนั้น $b+a+c+d=1+(-1)+0+1=1$

[skybaron]

อยากทราบ วิธีการ ของข้อ 10 อะครับ