การอินทิเกรตทั่งสองข้างของสมการ 4 ข้อคับ

[EMINEMs]

ผมลองมาหลายวิธีคับเเต่ทำไปต่อไม่ได้สักที่
กูรูผู้เข้าใจการอินทิเกตร ช่วยลบกวนแสดงวิธีคิดด้วยคับ

ขอบคุณคับ

โจทย์ ที่1



เมื่อทำการอินทิเกตรเเละจัดรูปใหม่จะได้




โจทย์ ที่2



เมื่อทำการอินทิเกตรเเละจัดรูปใหม่จะได้



โจทย์ ที่3



เมื่อทำการอินทิเกตรเเละจัดรูปใหม่จะได้



โจทย์ ที่4



เมื่อทำการอินทิเกตรเเละจัดรูปใหม่จะได้



รบกวนด้วยนะคับ

[Real Matrik]

รูปไม่ขึ้นครับ

[EMINEMs]

โจทย์ ที่1
http://www.4shared.com/photo/aBvEJad5/Capture51.html?
เมื่ออินทิเกตรเเล้วจะได้
http://www.4shared.com/photo/gdLLS3uR/Capture52.html

โจทย์ ที่2
http://www.4shared.com/photo/QfcDNUcA/Capture63.html
จะได้คำตอบคือ
http://www.4shared.com/photo/sBY2Kkzz/Capture64.html

โจทย์ ที่3
http://www.4shared.com/photo/zOfT5UME/Capture73.html
เมื่ออินทิเกตรเเล้วจะได้
http://www.4shared.com/photo/WlXp0zFn/Capture74.html

ข้อ4

http://www.4shared.com/photo/r2HmbMUq/Capture83.html
จะได้
http://www.4shared.com/photo/fLkYq8x0/Capture84.html

ไม่เข้าใจเหมือนกันว่าทำไม่ภาพไม่ขึ้น รบกวนกดตามลิ้งค์เเล้วกันนะคับ

[nooonuii]

พิมพ์โจทย์ให้ครับ

1. $\displaystyle \int\frac{1}{ae^{u/2}-be^{3u/2}}\,du$

2. $\displaystyle \int\frac{1}{ae^{u}+be^{2u}}\,du$

3. $\displaystyle \int\frac{1}{a+be^{u}+re^{2u}}\,du$

4. $\displaystyle \int\frac{1}{ae^{u/2}+be^{3u/2}+re^{5u/2}}\,du$

[EMINEMs]

ขอบคุณคับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิมพ์โจทย์ให้ครับ

1. $\displaystyle \int\frac{1}{ae^{u/2}-be^{3u/2}}\,du$

ข้อแรกครับ
$$\int\frac{1}{e^{\frac{u}{2}}}\bigg(\frac{1}{a-be^u}\bigg)du$$ ให้ $e^{\frac{u}{2}}=t$
$$\int\frac{1}{t}\bigg(\frac{1}{a-bt^2}\bigg)\bigg(\frac{2dt}{t}\bigg)$$ $$=-2\int\frac{1}{t^2}\bigg(\frac{1}{bt^2-a}\bigg)dt$$ $$=\frac{2}{a}\int\bigg(\frac{1}{t^2}-\frac{b}{bt^2-a}\bigg)dt$$ $$=\frac{2}{a}\bigg(\int\frac{1}{t^2}dt-b\int\frac{1}{bt^2-a}dt\bigg)$$ ให้ $bt^2-a=v$ $$=\frac{2}{a}\bigg(-\frac{1}{t}-b\int\frac{1}{v}(\frac{dv}{2bt})\bigg)$$ $$=\frac{2}{a}\bigg(-\frac{1}{t}-\frac{\sqrt{b}}{2}\int\frac{1}{v\sqrt{v+a}}dv\bigg)$$ ให้ $\sqrt{v+a}=w$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{2\sqrt{b}}{a}\int\frac{1}{w^2-a}dw$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{2\sqrt{b}}{a}\int\bigg(\frac{1}{(w+\sqrt{a})(w-\sqrt{a})}\bigg)dw$$ $$=-\frac{2}{a}e^{-\frac{u}{2}}-\frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}\int\bigg(\frac{1}{w-\sqrt{a}}-\frac{1}{w+\sqrt{a}}\bigg)dw$$ $$=-\frac{2}{a}e^{-\frac{u}{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{a^2}\bigg(ln|w+\sqrt{a}|-ln|w-\sqrt{a}|\bigg)$$
$$=-\frac{2}{a}e^{-\frac{u}{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{a^2}\bigg(ln\bigg|\frac{w+\sqrt{a}}{w-\sqrt{a}}\bigg|\bigg)$$
แล้วก็แทนค่า $w$ กลับไปเป็น $u$ จัดรูปอีกนิดหน่อยก็จะได้
$$-\frac{2}{a}e^{-\frac{u}{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{a^2}ln\bigg[\frac{e^{\frac{u}{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{b}}{e^{\frac{u}{2}}-\frac{\sqrt{ab}}{b}}\bigg]$$

[EMINEMs]

ขอบคุณมากคับ

poper
กระบี่ไร้สภาพ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิมพ์โจทย์ให้ครับ


2. $\displaystyle \int\frac{1}{ae^{u}+be^{2u}}\,du$

ข้ออื่นๆก็น่าจะแนวเดียวกันครับ
$$\int\frac{1}{e^u}\bigg(\frac{1}{a+be^u}\bigg)du$$ ให้ $e^u=t$ $$\int\frac{1}{t}\bigg(\frac{1}{a+bt}\bigg)\bigg(\frac{dt}{t}\bigg)$$ $$=\int\frac{1}{t^2}\bigg(\frac{1}{a+bt}\bigg)dt$$ $$\int\bigg(-\frac{b}{a^2t}+\frac{1}{at^2}+\frac{b^2}{a^2(a+bt)}\bigg)dt$$ $$=-\frac{b}{a^2}ln|t|-\frac{1}{at}+\frac{b^2}{a^2}\int\frac{1}{a+bt}dt$$ ให้ $a+bt=v$ $$-\frac{b}{a^2}ln|t|-\frac{1}{a}e^{-u}+\frac{b}{a^2}\int\frac{1}{v}dv$$ $$=-\frac{1}{a}e^{-u}+\frac{b}{a^2}ln|v|-\frac{b}{a^2}ln|t|$$ $$=-\frac{1}{a}e^{-u}+\frac{b}{a^2}ln\bigg[\frac{v}{t}\bigg]$$ $$=-\frac{1}{a}e^{-u}+\frac{b}{a^2}ln\bigg[\frac{be^u+a}{e^u}\bigg]$$

[EMINEMs]

คับผม !!! เดียวจะลองนั่งทำดูใหม่

ถ้าเกิดว่าติดตรงไหน รบกวนช่วยชี้เเนะด้วยนะคับ
เดียวผมเมล์ไปคับ

[poper]

ครับผม

[EMINEMs]

ข้อ 3

http://www.flickr.com/photos/7362462...ream/lightbox/


ข้อ 4

http://www.flickr.com/photos/7362462...ream/lightbox/

คิดไม่ออกจิงๆ คับ

[poper]

ข้อ 3 นะครับ
$$\int\frac{1}{a+be^u+re^{2u}}du$$ ให้ $e^u=t$
$$\int\frac{1}{a+be^u+re^{2u}}du=\int\frac{1}{a+bt+rt^2}(\frac{dt}{t})=\int\frac{1}{t}(\frac{1}{a+bt+rt^2})dt$$ $$=\int\bigg(\frac{1}{at}-\frac{rt}{a(a+bt+rt^2)}-\frac{b}{a(a+bt+rt^2)}\bigg)dt$$
$$=\frac{1}{a}ln|t|-\frac{r}{a}\int\frac{t}{a+bt+rt^2}dt-\frac{b}{a}\int\frac{1}{a+bt+rt^2}dt$$ ให้ $a+bt+rt^2=v$
$$=\frac{1}{a}ln|t|-\frac{r}{a}\int\bigg(\frac{-b+\sqrt{4r(v-a)+b^2}}{2r}\bigg)\cdot\frac{1}{v}\bigg(\frac{dv}{\sqrt{4r(v-a)+b^2}}\bigg)-\frac{b}{a}\int\frac{1}{v}(\frac{dv}{\sqrt{4r(v-a)+b^2}})$$ $$=\frac{1}{a}ln|t|+\frac{b}{2a}\int\frac{1}{v\sqrt{4r(v-a)+b^2}}dv-\frac{1}{2a}\int\frac{1}{v}dv-\frac{b}{a}\int\frac{1}{v}(\frac{dv}{\sqrt{4r(v-a)+b^2}})dv$$ $$=\frac{1}{a}ln|t|-\frac{1}{2a}ln|v|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{v\sqrt{4r(v-a)+b^2}}dv=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{v\sqrt{4r(v-a)+b^2}}dv$$ ให้ $4r(v-a)+b^2=w$
$$=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{2a}\int\bigg(\frac{4r}{w-b^2+4ar}\bigg)\cdot\frac{1}{\sqrt{w}}\bigg(\frac{dw}{4r}\bigg)$$ $$=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{\sqrt{w}}\cdot\frac{1}{w-b^2+4ar}dw$$ ให้ $w-b^2+4ar=s$ $$=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{s\sqrt{s+b^2-4ar}}ds$$
ทีนี้ก็เปรียบเทียบกับสูตรนี้ครับ$$\int\frac{du}{u\sqrt{a+bu}}=\frac{2}{\sqrt{-a}}arctan\sqrt{\frac{a+bu}{-a}}+C$$
ก็จะได้ว่า $$=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{2a}\bigg(\frac{2}{\sqrt{4ar-b^2}}arctan\sqrt{\frac{s+b^2-4ar}{4ar-b^2}}\bigg)+C=\frac{1}{a}ln\bigg|\frac{t}{\sqrt{v}}\bigg|-\frac{b}{a\sqrt{4ar-b^2}}arctan\sqrt{\frac{s+b^2-4ar}{4ar-b^2}}+C$$
แทนค่ากลับให้หมดก็ได้คำตอบครับ
ส่วนข้อ4 นี่เห็นคำตอบแล้วท้อเลยครับ

[EMINEMs]

ขอบคุณ พี่ป๊อปมากคับ
เเต่ว่า สูตร arctan ไม่เคยเห็นเลยอ่ะ
เอาไปใช้ได้เลยหรอครับ
เคยเห็นเเต่ $\int{1/(a^2+u^2)},dx = (1/a)tan^{-1}(u/a)+c$

[poper]

ถ้าต้องการพิสูจน์สูตรก็ ตามนี้เลยครับ
$$\int\frac{1}{u\sqrt{a+bu}}du$$ ให้ $v=\sqrt{a+bu}$ $$=\int(\frac{b}{v^2-a})\cdot \frac{1}{v}(\frac{2vdv}{b})$$ $$=2\int\frac{1}{v^2-a}dv=2\int\frac{1}{v^2+(\sqrt{-a})^2}dv\ \ (a<0)$$ $$=2\bigg(\frac{1}{\sqrt{-a}}arctan\frac{v}{\sqrt{-a}}\bigg)+C$$ แทนค่ากลับก็ได้ตามสูตรครับ

[poper]

ข้อสุดท้ายครับ...โหดได้ใจพี่มากเลยน้อง
$$\int\frac{1}{ae^{\frac{u}{2}}+be^{\frac{3u}{2}}+re^{\frac{5u}{2}}}du=\int\frac{1}{e^{\frac{u}{2}}}\cdot\bigg(\frac{1}{a+be^u+r e^{2u}}\bigg)du$$ ให้ $e^{\frac{u}{2}}=t$ $$=\int\frac{1}{t(a+bt^2+rt^4)}\bigg(\frac{2dt}{t}\bigg)$$ $$\frac{2}{a}\int\bigg(\frac{1}{t^2}-\frac{rt^2}{a+bt^2+rt^4}-\frac{b}{a+bt^2+rt^4}\bigg)dt$$ ให้ $a+bt^2+rt^4=v$ $$-\frac{2}{at}-\frac{2r}{a}\int\bigg(\frac{-b+\sqrt{4rv+\mu ^2}}{2r}\bigg)\cdot\frac{1}{v}\bigg(\frac{\sqrt{2r}dv}{2\sqrt{-b+\sqrt{4rv+\mu^2}}\sqrt{4rv+\mu^2}}\bigg)-\frac{2b}{a}\int\frac{1}{v}\bigg(\frac{\sqrt{2r}dv}{2\sqrt{-b+\sqrt{4rv-\mu^2}}\sqrt{4rv-\mu^2}}\bigg)$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}}{2a}\int\frac{dv}{v\sqrt{-b+\sqrt{4rv+\mu^2}}}-\frac{\sqrt{2r}b}{2a}\int\frac{dv}{v\sqrt{-b+\sqrt{4rv+\mu^2}}\sqrt{4rv+\mu^2}}$$ ให้ $\sqrt{-b+\sqrt{4rv+\mu^2}}=w$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{2\sqrt{2r}}{a}\int\frac{(w^2+b)dw}{(w^2+b)^2-\mu^2}-\frac{2\sqrt{2r}b}{a}\int\frac{1}{(w^2+b)^2-\mu^2}dw$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{2\sqrt{2r}}{a}\int\bigg(\frac{1}{w^2+b-\mu}-\frac{1}{w^2+b+\mu}\bigg)\cdot\frac{(w^2+b)dw}{2\mu}-\frac{2\sqrt{2r}b}{a}\int\bigg(\frac{1}{w^2+b-\mu}-\frac{1}{w^2+b+\mu}\bigg)\cdot\frac{dw}{2\mu}$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}}{\mu a}\bigg(\int\frac{(w^2+b)dw}{w^2+b-\mu}-\int\frac{(w^2+b)dw}{w^2+b+\mu}\bigg)-\frac{\sqrt{2r}b}{\mu a}\bigg(\int\frac{dw}{w^2+b-\mu}-\frac{dw}{w^2+b+\mu}\bigg)$$ ให้ $w^2+b-\mu=s_1\ \ \ \ ,w^2+b+\mu=s_2\ \ \ \ ,ds_1=ds_2$ $$-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}}{\mu a}\bigg[\int\frac{s_1+\mu}{s_1}(\frac{ds_1}{2w})-\int\frac{s_2-\mu}{s_2}(\frac{ds_2}{2w})\bigg]-\frac{\sqrt{2r}b}{\mu a}\bigg[\int\frac{ds_1}{2ws_1}-\int\frac{ds_2}{2ws_2}\bigg]$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}\mu}{2\mu a}\int\frac{ds_1}{s_1w}-\frac{\sqrt{2r}\mu}{2\mu a}\int\frac{ds_2}{s_2w}-\frac{\sqrt{2r}b}{2\mu a}\int\frac{ds_1}{s_1w}+\frac{\sqrt{2r}b}{2\mu a}\int\frac{ds_2}{s_2w}$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}(\mu+b)}{2\mu a}\int\frac{ds_1}{s_1w}-\frac{\sqrt{2r}(\mu-b)}{2\mu a}\int\frac{ds_2}{s_2w}$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}(\mu+b)}{2\mu a}\int\frac{ds_1}{s_1\sqrt{s_1+(\mu-b)}}-\frac{\sqrt{2r}(\mu-b)}{2\mu a}\int\frac{ds_2}{s_2\sqrt{s_2-(\mu+b)}}$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2r}(\mu^2+b\mu)}{2\mu^2a}\bigg(\frac{2}{\sqrt{b-\mu}}arctan\sqrt{\frac{s_1+(\mu-b)}{b-\mu}}\bigg)-\frac{\sqrt{2r}(\mu^2-b\mu)}{2\mu^2a}\bigg(\frac{2}{\sqrt{b+\mu}}arctan\sqrt{\frac{s_2-(\mu+b)}{b+\mu}}\bigg)+C$$ $$=-\frac{2}{at}-\frac{\sqrt{2}r(\mu^2+b\mu)}{\mu^2a\sqrt{r(b-\mu)}}arctan[\sqrt{\frac{rs_1+r(\mu-b)}{r(b-\mu)}}]-\frac{\sqrt{2}r(\mu^2-b\mu)}{\mu^2a\sqrt{r(b+\mu)}}arctan[\sqrt{\frac{rs_2-r(\mu+b)}{r(b+\mu)}}]+C$$
คิดว่ามาถึงตรงนี้คงจะไปต่อได้แล้วล่ะครับ
ถ้าไม่ได้ยังไงค่อยว่ากันทีละจุดละกันครับ โอยยย~~~~มึน