ข้อสอบแข่งขันอัจฉริยภาพ ช่วงชั้นที่ 4 Khonkaen Excellence Fair 2007

[kanji]

1. พิจารณาแต่ละข้อต่อไปนี้
1) กำหนดให้ $A$ และ $X$ เป็นเซตใดๆ มีเซต $X$ ที่ทำให้ $(X\cap A')\cup (X'\cap A)=A$

2) กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซตใดๆ $n(A)=p$ และ $n(B)=q$ , $p<q$
$ \,\,$ ถ้า $n[(A-B)\cup (B-A)]=3$ และ $n(A\times B)=40$ แล้ว $n(P(A\cup B))-n(P(A))=224$
ข้อใดถูกต้องบ้าง

2. กำหนดให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $$\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x^2-7x+12}-\frac{1}{x^2-4x+3}\le 0$$
และ $B$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\frac{|\,x|-1}{|\,x|-2}\le 0$
ถ้า $a$ เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ $A\cup B$
$b$ เป็นขอบเขตล่างมากสุดของ $A\cup B$ แล้ว $a-b$ มีค่าเท่าใด

3. มีแผ่นป้าย 14 แผ่น ที่เขียนเลขตั้งแต่ 0 ถึง 13 ไว้แผ่นละจำนวน จงหาจำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดในการหยิบป้ายมาจำนวนหนึ่ง ซึ่งเมื่อยกกำลังสองเลขบนแผ่นป้ายเหล่านั้นแล้วผลรวมจะหารด้วย 3 ลงตัว

4.จงหาผลบวกของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $|2-|2-\ldots|2-x|||=1$ โดยมีเลข 2 ในสมการทั้งหมด 2005 ตัว

5. ให้ $a_n$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 1 ถ้า $a_6$ เป็นจำนวนเต็มและ $a_6+a_9=52$ แล้ว $a_1$ มีค่าเท่าใด

6.กำหนด $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=0$ และ $x,y,z$ เป็นลำดับฮาร์มอนิก แล้ว $\log(a+c)-2\log(a-c)+\log(a-2b+c)$ มีค่าเท่าใด

7. ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ซึ่งมีสมบัติดังนี้
$a$ หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 6
$a$ หารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 11
$a$ หารด้วย 24 แล้วเหลือเศษ 23
จำนวนเต็มในข้อใดที่นำไปหาร $a$ แล้วเหลือเศษเป็น 2
ก. 13 ข. 33 ค. 42 ง. 56

[kanji]

8. กำหนด $\log 2=0.3010$ จำนวนหลักของ $5^{100}$ มากกว่าหรือน้อยกว่า $2^{200}$ อยู่เท่าใด

9. ค่าของ $\sum\limits_{n=1}^{999}\log(1+\frac{1}{n})$ มีค่าเท่าใด

[t.B.]

1.1) x=เป็นเซตว่าง
4) x=1,-3
8) มากกว่า9หลัก
9) 3

[bell18]

ข้อสอบหน้าตาคุ้นๆทั้งนั้นเลย มีทั้งสมาคมคณิตศาสตร์ ทุนก.พ. คัดโอลิมปิกสสวท. แล้วก็ข้อสอบEnt.
แข่งขันทดสอบความจำว่าใครจำคำตอบของข้อสอบได้มากกว่ากันรึเปล่าเนี่ย ม่ายหวายเลยนะแบบนี้

[gnopy]

มีข้อสอบเพชรยอดรอบชิงปี48ด้วยหง่า ข้อ9 อ่านะถ้าจำไม่ผิด

[หยินหยาง]

ขัอ 5 $ a_1 =\frac{2}{243} $

[หยินหยาง]

ข้อ 8. จำนวนหลักของ $ 5^{100}$ มากกว่า $ 2^{200}$ อยู่ $9 $ หลัก
ข้อ 9. $3$

[t.B.]

โอ้ผมทำผิดหมดเลยแฮะ -*- ช่วยแสดงวิธีคิดข้อ5ให้ดูหน่อยครับ

[nongtum]

5. ให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม จะได้ $a_6+a_9=a_1r^5(1+r^3)=52$
เพราะ $r$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้เทอมในวงเล็บเป็นจำนวนเต็ม จากการสังเกตจะพบว่า $r=-3$ แล้วก็แก้หา $a_1$ ครับ

6. จากข้อมูลจากโจทย์ สรุปได้ว่า $a,b,c$ เป็นลำดับฮาร์มอนิก นั่นคือ $\frac1a-\frac1b=\frac1b-\frac1c$ หรือ $\frac1a+\frac1c=\frac2b$
จากตรงนี้สรุปต่อได้ว่า $\frac{a-b}{a-c}=\frac{b}{2c}$ และ $\frac{b-c}{a-c}=\frac{b}{2a}$ ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
\log(a+c)-2\log(a-c)+\log(a-2b+c)
&=&\log\left\{\,\left(\,\frac{a+c}{a-c}\right) \left[\,\frac{a-b}{a-c}-\frac{b-c}{a-c}\right]\right\} \\
&=&\log\left\{\,\left(\,\frac{a+c}{a-c}\right) \left[\,\frac{b}{2c}-\frac{b}{2a}\right]\right\}\\
&=&\log\left(\,\frac{a+c}{a-c}\cdot\frac{b(a-c)}{2ac}\right)\\
&=&\log\left(\,\frac2b\cdot\frac{b}2\right)\ =\ \log1\ =\ 0\\
\end{eqnarray}$$

[t.B.]

ข้อ5เห็นทีจะไม่เคยเรียน- -*

[doraemon_j]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

4) x=1,-3

โจทย์ถามผลบวกไม่ใช่หรอครับ

4.) ตอบ 8020 รึเปล่าครับ
ถ้าผิดก็ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ doraemon_j

โจทย์ถามผลบวกไม่ใช่หรอครับ

4.) ตอบ 8020 รึเปล่าครับ
ถ้าผิดก็ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

น่าจะถูกครับ