ช่วยพิสูจน์ให้ทีครับ

[thee]

พิสูจน์ว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก n ใดๆ ที่ทำให้ n^{3} + 7 เป็น square number

(square number = จำนวนที่เขียนในรูปยกกำลังสองได้ เช่น 4 9 16 25 ...)
ผมเอาโจทย์นี้มาจากเว็บๆ หนึ่งอะครับคิดไม่ออกซะที

[warut]

โจทย์ข้อนี้เทียบเท่ากับการแสดงว่าไม่มี integral points บน elliptic curve:
$y^2=x^3+7$ ซึ่งในกรณีนี้สามารถทำได้โดยวิธี elementary ดังนี้ครับ

ถ้า $x\equiv0\pmod2$ จะได้ $y^2\equiv3\pmod4$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ถ้า $x\equiv-1\pmod4$ จะได้ $y^2\equiv2\pmod4$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $x\equiv1\pmod4$ ซึ่งจะทำให้ $x+2\equiv3\pmod4$
แสดงว่าจะต้องมีจำนวนเฉพาะ $p\equiv3\pmod4$ ที่เป็นตัวประกอบของ $x+2$
เนื่องจาก $y^2=(x^3+8)-1 = (x+2)(x^2-2x+4)-1$
ดังนั้น $y^2\equiv-1\pmod p$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ -1 ไม่ใช่ quadratic residue modulo $p$
สรุปว่าไม่มีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่สอดคล้องกับสมการ $y^2=x^3+7$ ครับ

ว่าแต่คุณ thee เอาโจทย์นี้มาจากเว็บไหนเหรอครับ

[tana]

คุณ warut เก่งมากเลยนะครับเนี่ย ไม่ได้เรียนจบทาง math ใช่มั้ยครับ สุดยอดเลยอ่ะครับ ศึกษาเอง เรียนจบไรมาเหรอครับ ความรู้ทาง math เยอะมากเลย

[thee]

ผมเอาโจทย์มาจากเว็บนี้ครับ http://www.geocities.com/ultimatemath/
ซึ่งเว็บนี้ยังมีอีกหลายข้อที่ผมยังคิดไม่ได้ถ้าใครคิดออกก็ช่วยเอาโจทย์มาเฉลยที่บอร์ดนี้ก็ดีนะครับ

[warut]

เอ่อ...ขอบคุณสำหรับคำชมครับคุณ tana แต่ว่าอย่าชมมากเลยครับ มันเขินอะนะ
แล้วเดี๋ยวคนจะหมั่นไส้ผมไปกันใหญ่ ผมก็จบ math มาเหมือนคุณ tana นี่แหละครับ
แต่ความรู้หลายๆอย่างก็ต้องมาหาอ่านเอาเองอีกทีครับ

ผมตามไปดูที่เว็บไซต์ที่คุณ thee บอกแล้วนะครับ หลังจากหาอยู่พักใหญ่ก็เจอแล้วว่า
เป็นโจทย์ข้อ 8 ที่เอามาจาก Korean Undergraduate Math Competition (1996)
เค้าให้ระดับความยากของข้อนี้ไว้แค่ 2 เองน้อยกว่าข้อ 9 ซึ่งเป็นการพิสูจน์ว่า e เป็น
อตรรกยะเสียอีก (ระดับความยาก = 3) ผมเลยคิดว่าอาจมีวิธีทำที่ง่ายกว่าที่ผมทำไว้
ก็เป็นได้ ถ้าใครมีหนังสือ "Diophantine Equations" ของ Mordell ลองเช็คดู
ให้หน่อยนะครับว่าเค้าแสดงวิธีทำของข้อนี้ไว้รึเปล่า

[nooonuii]

อ้าว คุณ warut ไม่ได้เป็น engineer หรอกเหรอครับ

[gon]

คุยกันตั้งนาน ดูจากฝีมือ nooonuii คิดไปได้ไง ว่าคุณ warut จบมาทางวิศวะ . ต้องมั่วไปมั่วมาแบบพี่นี่ล่ะวิศวะกระจาย.

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ thee:
ผมเอาโจทย์มาจากเว็บนี้ครับ http://www.geocities.com/ultimatemath/
ซึ่งเว็บนี้ยังมีอีกหลายข้อที่ผมยังคิดไม่ได้ถ้าใครคิดออกก็ช่วยเอาโจทย์มาเฉลยที่บอร์ดนี้ก็ดีนะครับ

ผมก็อยากส่งเฉลยไปลงที่นั่นอยู่เหมือนกัน แต่ว่าติดต่อไปที่ e-mail ที่เค้าให้ไว้ไม่ได้ครับ
จดหมายตีกลับ

[M@gpie]

อ่าเห็นด้วยกับพี่ gon เลยครับ ต้องมั่วไปมั่วมา นี่แหละ วิศวะ 555

[nooonuii]

คุณ warut เคยทำเหมือนผมเลยครับ แต่สุดท้ายก็ตีกลับ รู้สึกว่าเวบนี้จะไม่ active แล้วมั้งครับ คนทำเวบหายไปไหนอ่ะ โจทย์เขายากดีนะผมว่า

[warut]

ผมเพิ่งเคยเขียนไปถามเค้าเมื่อวานนี่เองครับ เพราะได้สังเกตเห็นว่าโจทย์หลายๆข้อที่มี
คนเอามาถามที่นี่และผมได้ตอบไป มันเป็นโจทย์เดียวกับที่โพสต์ไว้ที่นั่นที่ยังไม่มีคนเฉลย
ก็เลยอยากจะเอาไปแปะไว้ที่นั่นด้วย คิดว่าน่าจะทำให้เกิดประโยชน์ได้มากขึ้น