โจทย์สอวน.ฟังก์ชันพหุนาม

[artty60]

ให้ $g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

ถ้า$r(x)$และ$q(x)$เป้นพหุนามซึ่ง $g(x^{12})=g(x)q(x)+r(x)$ โดยดีกรีของ$r(x)<5$

แล้ว$r(1)+r(2)+r(4)+r(8)=?$

[Euler-Fermat]

r(x) เป็นพหุนาม คงตัว = 6 ครับ
ดังนั้น r(1)+r(2)+r(4)+r(8) = 24

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ให้ $g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

ถ้า$r(x)$และ$q(x)$เป้นพหุนามซึ่ง $g(x^{12})=g(x)q(x)+r(x)$ โดยดีกรีของ$r(x)<5$

แล้ว$r(1)+r(2)+r(4)+r(8)=?$

กำหนดดังโจทย์

เนื่องจาก $g(x)(x-1)(x^6+1) = x^{12}-1$

$g(x^{12})=x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1 = x^{60}-x^{48}+2x^{48}-2x^{36}+3x^{36}-3x^{24}+4x^{24}-4x^{12}+5x^{12}-5+6$

$= x^{48}(x^{12}-1)+2x^{36}(x^{12}-1)+3x^{24}(x^{12}-1)+4x^{12}(x^{12}-1)+5(x^{12}-1)+6$

$= (x^{48}+2x^{36}+3x^{24}+4x^{12}+5)(x^{12}-1)+6$

$= (x^{48}+2x^{36}+3x^{24}+4x^{12}+5)(x^6+1)(x-1)g(x)+6$

ดังนั้น $r(1)+r(2)+r(4)+r(8)=24$ เท่ากันครับ

[artty60]

[tonklaZolo]

[cardinopolynomial]

เเจ่มมากเลยครับ

[Night Baron]