การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพนุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2

[tngngoapm]

การหาเศษพหุนามด้วยวิธีนี้จะใช้ในกรณีหารากของสมการตัวหารได้เป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือเป็นจำนวนอตรรกยะที่ไม่ลงตัว โดยผมจะขอยกตัวอย่างขึ้นมาก่อนเพื่อให้ผู้อ่านได้เห็นภาพและหลักการที่ใช้ก่อนแล้วจะค่อยรวบรวมขึ้นเป็นระเบียบวิธีให้ในภายหลังนะครับ
.......ยกตัวอย่างเช่น $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษเท่าไหร่
วิธีผลรวมกำลังของรากสมการพหุนามมีขั้นตอนดังนี้

$++++++1)$ จับพหุนามตัวหารเท่ากับศูนย์ $x^2-2x+3=0$
จะด้าย.....$z_1+z_2=2$ และ $z_1z_2=3$ เมื่อ $z_1,z_2$ คือรากของสมการ
กำหนด.......$L_n=z_1^n+z_2^n$ หมายถึง $L_1=z_1+z_2,L_2=z_1^2+z_2^2,L_3=z_1^3+z_2^3,...$ ไปเรื่อยๆ

$++++++2)$ หาค่า $L_1,L_2,L_3,....,L_n=?$
เริ่มที่ $L_1=2$....และหา$L_2=-2$ ได้ไม่ยาก
ต่อไปหา $L_3=?$
จาก $x^2-2x+3=0$
.......$x^2=2x-3$
.......$x^3=2x^2-3x$
.......$z_1^3=2z_1^2-3z_1.................(1)$
.......$z_2^3=2z_2^2-3z_2.................(2)$
(1)+(2)...$z_1^3+z_2^3=2(z_1^2+z_2^2)-3(z_1+z_2)$
...........$z_1^3+z_2^3=2(-2)-3(2)$
...........$z_1^3+z_2^3=-10$
...........$L_3=-10$
$L_4,L_5,...L_n$ ก็ทำแบบเดียวกันสรุปได้ความสัมพัน์ $L_n=2L_{n-1}-3L_{n-2}$ ก็จะหา $L_n$ ค่าต่างๆได้

$+++++++3)$ สรุปค่า $L_1,L_2,...,L_{21}$
$L_1=2,L_2=-2,L_3=-10,L_4=-14,L_5=2,L_6=46,L_7=86,L_8=34,L_9=-190,L_{10}=-482,$
$L_{11}=-394,L_{12}=658,L_{13}=2498,L_{14}=3022,L_{15}=-1450,L_{16}=-11966,$
$L_{17}=-19582,L_{18}=-3266,L_{19}=52214,L_{20}=114226,L_{21}=71810$

$+++++++4)$ สมมติให้ $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $ax+b$
......$z_1^{20}+2z_1^{11}-z_1^5=az_1+b.................(3)$
......$z_2^{20}+2z_2^{11}-z_2^5=az_2+b.................(4)$
(3)+(4).....$(z_1^{20}+z_2^{20})+2(z_1^{11}+z_2^{11})-(z_1^5+z_2^5)=a(z_1+z_2)+2b$
..........$L_{20}+2L_{11}-L_5=aL_1+2b$
..........$113436=2a+2b$
..........$56718=a+b................(5)$
(3)$\times z_1$............$z_1^{21}+2z_1^{12}-z_1^6=az_1^2+bz_1.................(6)$
(4)$\times z_2$............$z_2^{21}+2z_2^{12}-z_2^6=az_2^2+bz_2.................(7)$
(6)+(7)............$L_{21}+2L_{12}-L_6=aL_2+bL_1$
......................$73080=-2a+2b$
......................$36540=-a+b..........................(8)$
แก้สมการ (5)และ(8) ได้ $a=10089,b=46629$

........สรุปว่า $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$

[tngngoapm]

...........อีกตัวอย่างหนึ่งของการนำทฤษฎีเศษเหลือไปประยุกต์ใช้ในเรื่องจำนวนเชิงซ้อนครับ
เช่น จงหาว่า $(1+\sqrt{2}i) ^{20}+2(1+\sqrt{2}i)^{11}-(1+\sqrt{2}i)^5=?$
เมื่อเรารู้ว่าพหุนาม$x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$
และรากของสมการพหุนามตัวหาร$x^2-2x+3=0$คือ $1+\sqrt{2}i$
แสดงว่า $(1+\sqrt{2}i) ^{20}+2(1+\sqrt{2}i)^{11}-(1+\sqrt{2}i)^5=10089(1+\sqrt{2}i)+46629=56718+10089\sqrt{2}i $

[tngngoapm]

......ในการหาเศษพหุนามผมนำเสนอไปแล้วหลายวิธีเช่น
1) วิธีตั้งหารยาว
2) วิธีใช้สูตร
3) วิธีหารสังเคราะห์
4) วิธีพหุนามย่อย
......วิธีต่อไปที่ผมจะนำเสนอคือ"วิธีผลรวมกำลังของรากสมการพหุนาม" คือเป็นวิธีที่ใช้ในกรณีที่พหุนามตัวตั้งมีดีกรีมากและพหุนามตัวหารมีข้อจำกัดในการหารากของสมการ โดยต้องมีเครื่องคำนวณอย่างเช่นเครื่องคิดเลขมาช่วยคิด แต่คงยังไม่ถึงขั้นต้องใช้แอปอย่างเช่นwolframalpha ก็สามารถหาเศษออกมาได้

แก้ไขเพิ่มเติม:จากรูปแนบ$Z=a_{n}L_{n}+a_{n-1}L_{n-1}+...+a_{2}L_{2}+a_{1}L_{1}+na_{0}$
แก้เป็น$Z=a_{n}L_{n}+a_{n-1}L_{n-1}+...+a_{2}L_{2}+a_{1}L_{1}+2a_{0}$

[tngngoapm]

.....เป็นวิธีที่ใช้หาเศษเมื่อพหุนามตัวหารมีดีกรีมากๆ โดยใช้หลักการแยกตัวประกอบพหุนามมาช่วยครับ
ยกตัวอย่างเช่น พหุนาม $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^3-x^2+x+3$ เหลือเศษ?
ก่อนอื่นแยกตัวประกอบของพหุนามตัวหาร $x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2-2x+3)$
จะได้พหุนามย่อย2พหุนามคือ $x+1 และ x^2-2x+3$
จากตัวอย่างก่อนหน้า พหุนาม$x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$
จะได้พหุนาม $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^3-x^2+x+3$ เหลือเศษอยู่ในรูป $k(x^2-2x+3)+(10089x+46629)$ เมื่อ$$k=\lim_{x \to -1} \frac{(x^{20}+2x^{11}-x^5)-(10089x+46629)}{x^2-2x+3} =\frac{-36540}{6}=-6090 $$
..........เศษเท่ากับ $(-6090)(x^2-2x+3)+(10089x+46629)=-6090x^2+22269x+28359$......

[tngngoapm]

ขอยกตัวอย่างเลยล่ะกัน ส่วนทฤษฎีผมแปะไว้ให้แล้วครับ ใครสนใจก็เจาะลงไปได้เลยครับ เช่นถามว่าจงแยกตัวประกอบของ
$x^4-x^3+5x-3$ ก่อนอื่นเลยตามปกติเราก็ใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบตรรกยะ สำหรับพหุนามนี้จะเห็นว่าไม่มีตัวประกอบจำนวนตรรกยะสักตัว ให้ทำตามนี้เลยครับ
$1.$ จัดรูปพหุนามกำลัง4 ให้พจน์ $x^3$ หายไป (ถ้าใครไม่รู้ว่าทำยังไง ก็ดูที่แปะนะครับ) จะได้
$x^4-x^3+5x-3=(x-\frac{1}{4})^4-\frac{3}{8}(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{39}{8}(x-\frac{1}{4})-\frac{451}{256} $
จะได้ $a_2=-\frac{3}{8} ,a_1=\frac{39}{8} ,a_0=-\frac{451}{256} $
$2. $สร้างพหุนาม $P$........$P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0$
จะได้.......$P^3-\frac{3}{4} P^2+\frac{115}{16} P-(\frac{39}{8}) ^2=0$
แก้สมการกำลัง3......ใช้ทฤษฎีบทรากจำนวนตรรกยะได้รากสมการหนึ่งเป็น $\frac{9}{4}$ .....$P_0=\frac{9}{4} $
แสดงว่าพหุนาม $x^4-x^3+5x-3$ แยกตัวประกอบได้
$3.$ หาค่า $p=\sqrt{P_0} =\sqrt{\frac{9}{4} }=\frac{3}{2} $
$q_1=\frac{1}{2}( p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}+\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} } ) =\frac{41}{16} $
$q_2=\frac{1}{2}( p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}-\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} }) =-\frac{11}{16} $
$4.$ $x^4-x^3+5x-3$
$=((x-\frac{1}{4})^2-p(x-\frac{1}{4})+q_1)((x-\frac{1}{4})^2+p(x-\frac{1}{4})+q_2)$
$=((x-\frac{1}{4})^2-\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})+\frac{41}{16} )((x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})-\frac{11}{16})$
สรุปว่า $x^4-x^3+5x-3=(x^2-2x+3)(x^2+x-1)$

[tngngoapm]

............ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)$ แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย $(x+4)$ แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย $(x+5)$ แล้วเหลือเศษ 4
ถามว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่าใด
...........วิธีทำ เมื่อหาด้วยวิธีเศษเหลือพหุนามจะได้ว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่ากับพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$
...........หรือเขียนพหุนาม $P(x)$ ในรูปสมการได้ว่า $P(x)=Q(x)[(x+3)(x+4)(x+5)]+R(x)$....................(a) เมื่อ $Q(x)= พหุนามผลหาร$
สมการพหุนาม $P(x)$ ในสมการ (a) สามารถแปลงเป็นโจทย์ทฤษฎีจำนวนได้หลายชุดดังนี้เช่น

$1.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 0 จะได้ $R(0)=34$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 34 ด้วย (ครน.ของ 3,4,5) =34
เพราะฉะนั้น 34 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4

$2.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 1 จะได้ $R(1)=52$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 52 ด้วย (ครน.ของ 4,5,6) =52
เพราะฉะนั้น 52 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4
........................................................
$3.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 7 จะได้$ R(7)=244$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 244 ด้วย (ครน.ของ 10,11,12) =244
เพราะฉะนั้น 244 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4

$4.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 18 จะได้ $R(18)=970$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 970 ด้วย (ครน.ของ 21,22,23) =970
เพราะฉะนั้น 970 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4

........ซึ่งแค่พหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ สามารถแปลงเป็นโจทย์ทางทฤษฎีจำนวนได้มากมายเหลือเกิน........

[tngngoapm]

1. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a))$ และ $(b,P(b))$
2. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) และ (c,P(c))$
3. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันกำลังสามหรือพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) , (c,P(c)) และ (d,P(d))$
4. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันกำลังสี่หรือกำลังสามหรือพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) , (c,P(c)) , (d,P(d)) และ (e,P(e))$.....!@#$%^&*!@#$%^&*!@#$%^&*แปะเอาไว้ก่อนจะได้รู้ว่าผลงานเราได้ทำอะไรไว้บ้าง

[tngngoapm]

>>>>พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆเศษเหลือของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง2สมบูรณ์จะสามารถอธิบายได้โดยทฤษฎีทางแคลคูลัสตามรู ปข้างล่างนะครับ......
>>>>พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆเศษเหลือของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง3สมบูรณ์ก็จะสามารถอธิบายได้โดยทฤษฎีทางแคลคูลัสได้ อีกเหมือนกัน......

[tngngoapm]

......พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆ$(f(x))$ เศษเหลือ$(r(x))$ของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง3สมบูรณ์จะมีความสัมพันธ์อยู่กับกราฟพาราโบลาหรือพหุนามดีกรีสองที่มีเส้นสัมผัสเป ็นเส้นเดียวกับพหุนาม$f(x)$และมีรัศมีความโค้งเท่ากันกับพหุนาม$f(x)$
......$พหุนาม f(x) หารด้วยพหุนาม (x-a)^3 จะเหลือเศษเป็นพหุนามกำลังสอง r(x) โดย$
$1. r(a)=f(a)$ ค่าฟังก์ชันเท่ากัน
$2. r'(a)=f'(a)$ อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากัน
$3. r''(a)=f''(a)$ อนุพันธ์อันดับสองเท่ากัน

[tngngoapm]

กรณีเฉพาะของการหารพหุนามตัวตั้งที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ3ใดๆ เมื่อถูกหารด้วยพหุนามตัวหารกำลังสามสมบูรณ์ จะเหลือเศษเป็นพหุนามเศษเชิงเส้นก็ต่อพหุนามตัวหารกำลังสามสมบูรณ์นั้นมีรากของสมการเกี่ยวข้องอยู่กับค่าวิกฤติ(จุดเปลี่ยนเว้า)ของพหุ นามตัวตั้ง

[tngngoapm]

วิธีนี้จะเป็นวิธีการหาเศษพหุนามโดยพหุนามตัวหารมีพหุนามย่อยที่มีดีกรี2อยู่ด้วยเช่นพหุนามตัวหารเป็น
$(x-1)(x+1)(x^2+2x-3),(x-1)(x+1)x^2,(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ เป็นต้น
โดยหลักการนั้นก็คล้ายกับวิธีการหาเศษพหุนามด้วยวิธีพหุนามย่อยกำลัง1 คือ หาเศษของพหุนามตัวตั้งหารด้วยพหุนามย่อยของพหุนามตัวหารเช่น จะหาเศษของพหุนามตัวตั้ง $P(x)$ หารด้วยพหุนามตัวหาร$(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ว่าเหลือเศษเท่าไหร่ ..สามารถหาโดยนำพหุนามย่อยของตัวหารคือพหุนามย่อย $(x-1)$, พหุนาม$(x+1)$, พหุนาม$(x+2)$, และพหุนาม$(2x-1)^2$แต่ละตัวไปหารพหุนามตัวตั้ง$P(x)$จะได้เศษของแต่ละตัว นำมาคำนวณวิเคราะห์ประกอบกันก็จะได้เศษรวมของการหารด้วยพหุนาม$(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ในที่สุด แต่วิธีพหุนามย่อยกำลัง2 จะมีความซับซ้อนกว่าวิธีพหุนามย่อยกำลัง1.......ซึ่งมีตัวอย่างให้ดูสำหรับผู้ที่สนใจดังรูปแนบ ซึ่งชิ้นงานที่ผมนำเสนอนี้ค่อนข้างเป็นมุมมองที่น่าจะยังไม่มีใครนำเสนอมาก่อน เพราะฉะนั้นผมจะค่อยๆอธิบายความเป็นไปเป็นมาตามลำดับ
แล้วโอกาสต่อไปจะนำเสนอสูตรเป็นสมการคณิตศาสตร์รวมทั้งการเชื่อมโยงวิธีหาเศษเหลือพหุนามกับการหาเศษส่วนย่อยคือสามารถประยุกต์วิธีหาเศ ษส่วนย่อยด้วยการหาเศษเหลือพหุนามได้ครับเช่น......

$\frac{323x^3-307x^2-326x+313}{(x-2)(x+1)(x-1)^2} =\frac{339}{x-2}+\frac{\frac{-3}{4} }{x+1}+\frac{\frac{-61}{4} }{x-1} +\frac{\frac{-3}{2} }{(x-1)^2} $

[Napper]

จริงๆมีวิธีการหารโดยใช้การหารสังเคราะห์อยู่นะครับ แต่มันจะเพิ่มเลเยอร์ไปอีกชั้น ข้อดีคือไม่ต้องแก้หารากสมการครับ ลองเอาไปปรับใช้ดูครับ

http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html

https://www.youtube.com/watch?v=mdgWnxohHNg

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper

จริงๆมีวิธีการหารโดยใช้การหารสังเคราะห์อยู่นะครับ แต่มันจะเพิ่มเลเยอร์ไปอีกชั้น ข้อดีคือไม่ต้องแก้หารากสมการครับ ลองเอาไปปรับใช้ดูครับ

http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html

https://www.youtube.com/watch?v=mdgWnxohHNg

ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ทฤษฎีการหาเศษพหุนามสามารถนำมาใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีตั้งแต่สามขึ้นไปได้ และทำให้นำมาสู่วิธีในการหารากของสมการพหุนาม ตัวอย่างเช่นย้อนกลับไปที่ความคิดเห็นที่ #20 การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสี่....
สามารถนำมาประยุกต์สำหรับใช้หารากของสมการพหุนามกำลังสี่ได้ โดยสรุปเป็นแนวทางได้ว่า....
....นำพหุนามกำลังสี่ที่ต้องการหารากของสมการมาจัดรูปใหม่$\rightarrow$ พหุนามกำลังสี่ที่ไม่มีพจน์กำลังสาม$\rightarrow$ นำสัมประสิทธ์ของพหุนามกำลังสี่ที่ได้นั้นมาสร้างพหุนามกำลังสาม$P(x)\rightarrow$ หารากของสมการพหุนามกำลังสาม $P(x)=0$ซึ่งต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อย1 ค่า$\rightarrow$ มาหาค่ารากของพหุนามกำลังสี่ตั้งต้นได้ในที่สุด

####ตัวอย่างการหารากพหุนามกำลังสี่

ตัวอย่างเช่น $x^4-4x^3+x^2+x-1=0$
วิธีทำ
1. $x^4-4x^3+x^2+x-1=(x-1)^4-5(x-1)^2-5(x-1)-2$
2. $a_2=-5,a_1=-5,a_0=-2$
3. สร้างพหุนาม $P(x)=P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0\rightarrow P^3-10P^2+33P-25=0$
หารากของสมการได้ จำนวนจริง1ค่าอีก2ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน เลือกค่าที่เป็นจำนวนจริงคือ$P\approx 1.0643$
4. หาค่า $p=\sqrt{P} \approx \sqrt{1.0643}\approx 1.032 $
$q_1=\frac{1}{2}(p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) \approx -4.39$
$q_2=\frac{1}{2}(p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) \approx 0.455$
5. $x^4-4x^3+x^2+x-1=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^2+p(x-1)+q_2]\approx (x^2-3.032x-2.358)(x^2-0.968x+0.423)$
6.รากของสมการคือ $x^2-3.032x-2.358=0และx^2-0.968x+0.423=0$ จะได้ $x\approx -0.64,3.67,0.48\pm 0.43i$

....ในกรณีพหุนามกำลังห้าก็มีแนววิธีมาจากแนวคิดเดียวกันแต่ผมยังไม่สามารถสรุปเป็นวิธีการหารากของพหุนามได้เนื่องจากมีความซับซ้อนมาก กว่า แต่สามารถสรุปเป็นวิธีการแยกตัวประกอบได้คือ....

#####ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามกำลังห้า

ตัวอย่างเช่น $การแยกตัวประกอบของx^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3$
วิธีทำ
1. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=(x-1)^5-2(x-1)^3-2(x-1)^2-8(x-1)-4$
2. $a_3=-2,a_2=-2,a_1=-8,a_0=-4$
3.เลือก $q_1ที่เป็นตัวประกอบของ a_0\rightarrow q_1=2$
หา $p=\frac{a_0\pm \sqrt{a_0^2+4q_1^3(q_1^2-a_3q_1+a_1)} }{2q_1^2} =0,-2$
และเลือก $p=0$จะเห็นว่าทำให้ $\frac{a_0}{q_1} +(2q_1-a_3)p-p^3=a_2=-2จริง$
แสดงว่าแยกตัวประกอบได้ $p=0,q_1=2$
4. หาค่า $q_2,q_3 $
$q_2=a_3-q_1+p^2=-4$
$q_3=p^3+(a_3-2q_1)p+a_2=-2$
5. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^3+p(x-1)^2+q_2(x-1)+q_3]= [(x-1)^2+2][(x-1)^3-4(x-1)-2]=(x^2-2x+3)(x^3-3x^2-x+1)$

[tngngoapm]

การใช้ลำดับฟิโบนาชีในการหาเศษพหุนามที่หารด้วย$x^2-x-1$

ใช้หลักการแปลงพหุนาม
$$x^n=f_nx+f_{n-1}เมื่อn\geqslant 2และf_nคือลำดับฟิโบนาชีพจน์ที่n$$
ยกตัวอย่างเช่น...
$x^{10}+3x^6-4x+2หารด้วยx^2-x-1เหลือเศษเท่าใด$
วิธีทำ...$x^{10}=f_{10}x+f_9=55x+34$
....$x^6=f_6x+f_5=8x+5$
เพราะฉะนั้นแปลงพหุนาม$x^{10}+3x^6-4x+2$ได้เป็น....$x^{10}+3x^6-4x+2=(55x+34)+3(8x+5)-4x+2=75x+51$
หรือ $x^{10}+3x^6-4x+2หารด้วยx^2-x-1เหลือ75x+51$