Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 19 มีนาคม 2017, 20:33
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default อสมการ

ให้ $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{a+b}{a+b+2c}+\frac{b+c}{b+c+2a}+\frac{c+a}{c+a+2b}+\frac{ab+bc+ca}{2(a^2+b^2+c^2)}\le2$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 19 มีนาคม 2017, 20:59
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

ลองใช้ AM HM คับ
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 22 มีนาคม 2017, 20:18
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

สวยมาก ๆ ครับ ให้อีกข้อ

ให้ $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ และ $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า

$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 23 มีนาคม 2017, 00:55
Devilbat's Avatar
Devilbat Devilbat ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 มีนาคม 2017
ข้อความ: 3
Devilbat is on a distinguished road
Default

ทำข้อนี้ตอนแรกไม่คิดว่าจะใช้ Cauchy reverse โจทย์สวยดีครับ
$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1$ is equivalent to
$\sum_{cyc}a-\sum_{cyc}\frac{2ab^3}{a+2b^3}\ge1$ or
$\sum_{cyc}\frac{ab^3}{a+2b^3}\le 1$ By A.M-G.M , we only need to prove that
$a^{2/3}b+b^{2/3}c+c^{2/3}a\le3$ By A.M-G.M, we obtain
$\sum_{cyc}3a^{2/3}b\le\sum_{cyc}b+ab+ab=\sum_{cyc}a+2\sum_{cyc}ab\le3(a+b+c)=9$
and the desired result follows.

23 มีนาคม 2017 00:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Devilbat
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 27 มีนาคม 2017, 20:49
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

สุดยอดคับ ศุภกร
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:42


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha