Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 13 เมษายน 2017, 14:22
Leng เล้ง Leng เล้ง ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 เมษายน 2013
ข้อความ: 53
Leng เล้ง is on a distinguished road
Default ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2560

$\ 1. จงหาจำนวนเฉพาะ\ p\ ทั้งหมด\ ที่ทำให้\ p\ หาร 1^{p-1}+2^{p-1}+...+2017^{p-1}ลงตัว$

$2. กำหนดพหุนาม\ P(x)\ เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ P(x) =x^n-n(n+1)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 ซึ่งมีรากเป็น\ x_1,x_1,...,x_n $
$\ และ\ Q(x) เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2-2n(n+1)bx+b\ ซึ่งมีรากเป็น \frac{1}{x^2_1},\frac{2}{x^2_2} ...,\frac{n}{x^2_n}$
$ สมมติ R(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่ง\ R(0)เป็นจำนวนคี่\ และ\ R(1)เป็นจำนวนคู่ $
$ จงพิสูจน์ว่าพหุนาม\ S(x) โดยที่\ S(x)=P(x)-R(x)\ ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม$

$\ \ 3. กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ มีวงกลม\omega เป็นวงกลมล้อมรอบ ซึ่งมีจุด\ M\ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน\ BC ต่อ\ AMไปตัดวงกลมอีกครั้งที่\ A' $
$ให้เส้นสัมผัสวงกลมที่\ Aและ\ A' ตัดส่วนต่อของ\ BC ที่\ Xและ\ Y\ ตามลำดับ\ จงพสูจน์ว่า\ MX=MY $

$\ 4.กำหนดเซต S=\left\{1,2,...,50\,\right\} จงหาค่า\ k\ ที่น้อยที่สุด\ ซึ่งทำให้ทุกสับเซต\ S\ ที่มีสมาชิก\ k\ ตัว\ มี\ a,b\ เป็นสมาชิกในสับเซตนั้นซึ่ง\ (a+b)|ab$

$\ 5. กำหนดฟังก์ชัน\ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} โดยที่\ f(1)=1\ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้$
$(a)\ 5f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+5f(n))$
$(b)\ f(2n)<10f(n)$
$จงหาชุดของ\ (a,b,c,d)\ ทั้งหมด โดยที่\ a>b>c>d\ ซึ่ง\ f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

$\ \ 6. กำหนด\ x,y,z\in \mathbb{R^+}\ โดยที่\ x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx\ และ\ xyz=\frac{1}{2} $
$จงหาค่า\ x+y+z\ ที่น้อยที่สุด\ พร้อมทั้งหาค่า\ x,y,z\ ที่ทำให้เกิดค่าน้อยที่สุด$

14 เมษายน 2017 20:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Leng เล้ง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 13 เมษายน 2017, 22:54
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ผมเสนอข้อ 3. กับ 6. ไปครับ อาจารย์คงจะปรับโจทย์นิดหน่อย ก็เลยยากขึ้นนิดหน่อย 555
ปล. จริงๆ ไอเดียในการแต่งข้อ 3. มาจากที่ผมสังเกตสมบัติของ Symmedian+ Harmonic Quadrilateral ครับ
__________________
I'm Back

15 เมษายน 2017 12:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 14 เมษายน 2017, 12:32
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

ข้อ 1, 4 ก็ OMG เหมือนกันนะ ไล่รัว ๆ เลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 14 เมษายน 2017, 16:44
BAWHK BAWHK ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 12
BAWHK is on a distinguished road
Default

ข้อ 6 $x=b+c,y=a+c,z=a+b$
จะได้ $ab+bc+ca=0$ เเละ $abc=\frac{-1}{2}$
จาก x,y,z>0 จะได้ ต้องมี a,b,c อย่างน้อย2ตัว >0
สมมติเป็น $a,b>0$
เเทน $c =\frac{-1}{2ab} \implies a+b=2a^2b^2 โดย AM-GM$ จะได้ $ab \ge 1$
$x+y+z=2(a+b+c)=2(2(ab)^2-\frac{1}{2ab}) \ge 2(2(1)^2-\frac{1}{2})=3$
เนื่องจาก $f(t)=4t^2-\frac{1}{t}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ $t>0$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 14 เมษายน 2017, 17:35
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

ข้อ 4 $k$ ต่ำสุดนี่ $39$ ตัว ไหมครับ
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 14 เมษายน 2017, 18:28
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

3. สะท้อน $A$ ข้าม perpendicular bisector ของ $BC$ ได้ $A''$ จาก $A''BA'C$ harmonic จะได้ว่า $YA''$ สัมผัส $\omega$

นั่นคือ $X$ เป็นภาพสะท้อนของ $Y$ ข้าม perpendicular bisector ซึ่งให้ด้านเท่ากันตามต้องการ

ส่วนข้อ 5 ให้หา $(a,b,c,d)$ ชุดเดียว หรือ หาทั้งหมด หรือให้นับจำนวนครับ

14 เมษายน 2017 18:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 14 เมษายน 2017, 23:27
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

__________________
I'm Back

14 เมษายน 2017 23:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 15 เมษายน 2017, 16:34
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

5. สังเกตว่า $f(2n)(1+5f(n))=5f(n)f(2n+1)\implies 5f(n)\mid f(2n)$

แต่ $f(2n)<10f(n)$ จะได้ $f(2n)=5f(n)$ นั่นคือ $f(2n+1)=5f(n)+1$ ด้วย

ต่อมาให้ $n=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(2)}$ เป็นการเขียนในฐาน 2 จะได้ $f(n)=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(5)}$

ต่อไปจะนับจำนวนชุดของ $(a,b,c,d)$ ที่ $a>b>c>d$ และ $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

เรียก 4 สิ่งอันดับ $(a,b,c,d)$ ว่าดี ถ้า $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$

จาก $2017=(31032)_{(5)}$
โดยใช้ combi นิดหน่อย จะได้ว่ามีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีอยู่ ${\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{0}\binom{4}{3}\binom{4}{2}}=384$ ชุด

ต่อไปจะตัดกรณีที่มีสองตัวเท่ากันออก WLOG ไปก่อนว่า $a=b$

สังเกตว่า $a=b=(10011)_{(2)}$ หรือ $(10010)_{(2)}$ และ $a\ne c\ne d$ (พิสูจน์เอง)

Case 1 $a=b=(10011)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11010)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{0}=8$ ชุด

Case 2 $a=b=(10010)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11012)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}=8$ ชุด

ดังนั้น มีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีที่ $a=b$ อยู่ $16$ ชุด

แต่ $a=b\implies a\ne c\ne d$ จะพบว่า แต่ละชุดสลับที่ได้ $6$ แบบ

จะพบว่ามี 4 สิ่งอันดับดีที่มีอย่างน้อย 2 ตัวเท่ากับอยู่ $96$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ทุกตัวต่างกันหมดอยู่ $384-96=288$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ $a>b>c>d$ อยู่ $288\div 24=12$ ชุด

17 เมษายน 2017 18:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 15 เมษายน 2017, 17:27
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
5. สังเกตว่า $f(2n)(1+5f(n))=5f(n)f(2n+1)\implies 5f(n)\mid f(2n)$

แต่ $f(2n)<10f(n)$ จะได้ $f(2n)=5f(n)$ นั่นคือ $f(2n+1)=5f(n)+1$ ด้วย

ต่อมาให้ $n=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(2)}$ เป็นการเขียนในฐาน 2 จะได้ $f(n)=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(5)}$

จาก $2017=(31032)_{(5)}$
โดยใช้ combi นิดหน่อย จะได้ว่ามีจำนวนชุด $(a,b,c,d)$ ที่สอดคล้องอยู่ $\displaystyle{\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{0}\binom{4}{3}\binom{4}{2}}=384$ ชุด
มีเงื่อนไขว่า $a>b>c>d$ ด้วยนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 17 เมษายน 2017, 15:01
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
ดังนั้น มีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีที่ $a=b$ อยู่ $16$ ชุด

แต่ $a=b\implies a\ne c\ne d$ จะพบว่า แต่ละชุดสลับที่ได้ $6$ แบบ

จะพบว่ามี 4 สิ่งอันดับดีที่มีอย่างน้อย 2 ตัวเท่ากับอยู่ $48$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ทุกตัวต่างกันหมดอยู่ $384-48=336$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ $a>b>c>d$ อยู่ $336\div 24=14$ ชุด
Number of $(a,b,c,d)$ โดยไม่มีเงื่อนไขเท่ากับ $384$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a=b, a\ne c \ne d$ เท่ากับ $16$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a=b, a\ne c \ne d, c > d$ เท่ากับ $\frac{16}{2!} = 8$

Number of $(a,b,c,d)$ โดยเท่ากัน 1 คู่เท่ากับ $8 \times \frac{4!}{2!} = 96$

Number of $(a,b,c,d)$ โดยไม่เท่ากันเลย $384 - 96 = 288$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a>b>c>d$ เท่ากับ $\frac{288}{4!} = 12$

ผิดนิดนึงครับ ตรงนี้ ทางทีดีก็ไล่เอาเลยก็ดีครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

17 เมษายน 2017 15:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 17 เมษายน 2017, 15:47
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

6. Alternate Sol ครับ
$x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx$
สมมติ $x \ge y \ge z$

$x^2+y^2+z^2-2xy-2zx+2yz=4yz$
$(x-y-z)^2=4yz$
$x-y-z=\pm 2\sqrt{yz}$
$x=y \pm 2\sqrt{yz} +z$
$\sqrt{x} = \sqrt{y} \pm \sqrt{z}$

แต่จาก $x$ มากที่สุด
$\sqrt{x} = \sqrt{y} + \sqrt{z}$
เอาไปแทนใน $xyz = \frac{1}{2}$ จะได้ไม่ยากว่า $yz \le \frac{1}{4},x \ge 2 \quad (\ast)$
ต่อมา
$\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z}=0$
ยกกำลังสอง
$x+y+z= 2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{xyz}\sqrt[4]{x}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\sqrt[4]{2}-2\sqrt{\frac{1}{4}}=4-1=3$

สมการเกิดเมื่อ $x,y,z$ สอดคล้องกับ $(\ast)$ และ $y=z$ หรือ permutation ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

17 เมษายน 2017 15:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 22 เมษายน 2017, 15:53
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

เห็นมาหลายวันแล้วข้อนี้ขอหน่อย

อีกวิธีที่ไม่พึ่ง Harmonic นะครับ ใช้ Symmedian + Polar

จากโจทย์ต่อเส้นสัมผัสที่ B,C ให้ตัดกันที่ P พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า AP เป็น Symmedian

เพราะว่า M เป็น midpoint จะได้ว่า BMP เท่ากันทุกประการกับ PMC

และผลจากการที่ M เป็น midpoint ที่ลากผ่าน O ถ้าแบ่งครึ่งต้องตั้งฉาก

ดังนั้นจะได้ OP ตั้งฉาก BC จากนิยามของ pole and polar

จะได้ว่า BC เป็น polar ของ P เทียบกับ $\omega$ (w.r.t. $\omega$) ให้ AP ตัดกับ $\omega$ ที่ A'' และต่อ P,A' ชน $\omega$ ที่ A'''

เพราะว่า polar ของ P (คือ BC) ผ่าน Y ดังนั้น polar ของ Y ต้องผ่าน P ด้วยซึ่งก็คือ A'A''' (จาก La hire's)

ก็จะได้ YA''' สัมผัส $\omega$ และ P,A',A''' กับ P,A'',A ทั้งคู่ collinear เหมือนกัน

จากผลของ Symmedian จะได้ว่า BAP = MAC ดังนั้นส่วนโค้ง BA?? กับ CA? ยาวเท่ากัน

จะได้ว่า A?? ห่างจากเส้นตรง OP เป็นระยะทางเท่ากับ A? นั่นคือ A??,A? เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตร

และจากที่พิสูจน์ไปแล้วเรื่อง collinear ต้องได้ว่า AP กับ A???P เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตรด้วย

ให้ XA ตัดส่วนต่อของ OP ที่ S และ ให้ YA??? ตัดส่วนต่อของ OP ที่ T ให้ AA??? ตัด OP ที่ U

จากการที่ AUP เท่ากันทุกประการกับ A???UP ดังนั้น AA??? ตั้งฉาก OP ต้องได้ว่าส่วนต่อเส้นสัมผัสของ XA และ YA???

ต้องตัดกันจุดเดียวเป็น pole และมี AA??? เป็น polar ด้วย ดังนั้น S กับ T เป็นจุดเดียวกัน

สุดท้าย SA กับ SA??? เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ต้องได้ว่า SX และ SY เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ด้วย ดังนั้น MX=MY

ปล.ชอบข้อนี้มากๆเลยครับ คงมีอีกหลายๆ solution ซ่อนอยู่

22 เมษายน 2017 19:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aquila
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 22 เมษายน 2017, 22:43
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ สพฐ. รอบ 2 มัธยมต้น 2560 หัวหมาหางสิงโต ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 15 14 มีนาคม 2017 19:21
TMC ป.6 (11 ก.พ. 2560๗ BKT17032557 ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 0 12 กุมภาพันธ์ 2017 14:30
ข้อสอบ สพฐ คณิตศาสตร์ รอบแรก 2560 Uncle Laem ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 8 29 มกราคม 2017 11:27
ข้อสอบ สพฐ. รอบที่ 1 ปี 2560 (มัธยมต้น) gon ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 25 28 มกราคม 2017 09:07

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:09


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha