TMO 14 Discussion

[Pitchayut]

ผมปรับ wording ในบางข้อนะครับ

Day 1

1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า $\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

2. ให้ $O$ เป็น circumcenter ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ ให้ $AC$ ตัด $BD$ ที่ $G$ ให้ $P,Q,R,S$ เป็น cirumcenter ของ $\Delta AGB,\Delta BGC, \Delta CGD, \Delta DGA$ ตามลำดับ ให้ $PR$ ตัด $QS$ ที่ $M$ จงแสดงว่า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OG$

3. จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $$f(f(x)-y)\le xf(x)+f(y)$$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

4. นักเรียนจาก $14$ โรงเรียน โรงเรียนละ $14$ คน เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์ ซึ่งจะจัดให้นักเรียนเข้าสอบใน $14$ ห้อง ห้องละ $14$ คน โดยที่ไม่มีนักเรียนสองคนใดๆ จากห้องเรียนเดียวกันได้สอบห้องเดียวกัน

จากการสำรวจ พบว่ามีนักเรียน $15$ คนที่เคยเข้าร่วมการแข่งขันนี้มาแล้ว เจ้าภาพจึงเลือกนักเรียน $2$ คน จาก $15$ คนนี้ ไปกล่าวคำปฏิญาณ โดยที่ทั้ง $2$ คนจะต้องไม่อยู่โรงเรียนเดียวกัน และไม่สอบห้องเดียวกัน ให้ $n$ เป็นจำนวนวิธีดังกล่าว จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $n$

5. มีจำนวนเต็มบวกเรียงติดกัน $2017$ จำนวน ที่ทุกจำนวนไม่สามารถเขียนในรูป $a^2+b^2$ สำหรับบาง $a,b\in\mathbb{Z}$ หรือไม่ พร้อมแสดงเหตุผลประกอบ

Day 2

6. $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมี $AD$ เป็นส่วนสูง $CD=AD$ ถ้า median $CM$ ตัด $AD$ ที่ $N$ จงพิสูจน์ว่า $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ $CN=2AM$

7. จงแสดงว่าไม่มี $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ ที่ทำให้ $$2560m^2+5m+6=n^5$$

8. จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

9. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$ สำหรับทุกๆ $x,y\in\mathbb{Q}^+$

10. ในระบบพิกัดฉาก นิยามจุด lattice เป็นจุดที่มีพิกัด $x$ และพิกัด $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงว่าสำหรับทุกๆ $n\in\mathbb{N}$ จะมีวงกลมที่มีจุด lattice $n$ จุดพอดีอยู่ภายใน (ไม่นับจุดบนเส้นรอบวง)

[Lspeed]

ปีนี้โจทย์ยากขึ้น(ในความคิดผม)

[Pitchayut]

ผมว่ายากขึ้น แต่ข้อยากยังยากไม่เท่า TMO 12

Problem 1

ให้ $r=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$

จะได้ $r^3=p+p^5+3\cdot\sqrt[3]{p}\sqrt[3]{p^5}(\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5})=p+p^5+p^2r$

ให้ $P(x)=x^3-p^2x+(p^5+p)$ จะได้ $r$ เป็นรากของพหุนามนี้

แต่จาก Eisenstein's Criterion (กับจำนวนเฉพาะ $p$) จะได้ว่า $P(x)$ ลดทอนไม่ได้ซึ่งให้ว่า $r$ เป็นจำนวนอตรรกยะตามต้องการ

Problem 2

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่า $QS$ แบ่งครึ่ง $OG$

ให้ Homothety อัตราส่วน $2$ ที่จุดศูนย์กลาง $G$ ส่ง $Q$ ไป $Q'$ และส่ง $S$ ไป $S'$

จะได้ $\angle Q'BD=\angle Q'AC=\angle S'CA=\angle S'DB=90^{\circ}$ และเราต้องพิสูจน์ว่า $O,Q',S'$ colinear

ให้ $\Psi(X)$ เป็นภาพสะท้อนของ $X$ ข้าม $O$

ให้ $AA',BB',CC',DD'$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ $ABCD$

ดังนั้น $\Psi(Q')=\Psi(BD')\cap\Psi(CA')=B'D\cap C'A=S'$ ซึ่งให้ว่า $O$ เป็นจุดกึ่งกลาง $Q'S'$ ตามต้องการ

Problem 3

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(f(x)-y)\le xf(x)+f(y)$

$P(x,f(x))+P(x,0)\implies xf(x)\ge 0$

$P(0,x)\implies f(f(0)-x)\le f(x)$

ให้ $K=\min\{f(0),0\}$ เลือก $r<K$ จะได้ $f(f(0)-r)\ge 0$ และ $f(r)\le 0$

ดังนั้น $f(r)=0$ สำหรับทุกๆ $r<K$

$P(r,y)\implies f(-y)\le f(y)$ แต่ $P(r,-y)\implies f(y)\le f(-y)$ ดังนั้น $f(y)=f(-y)$

ให้ $s\in\mathbb{R}^+$ จะได้ว่า $f(-s)\le 0$ และ $f(s)\ge 0$

แต่ $f(s)=f(-s)$ ดังนั้น $f(s)=0$ และ $f(-s)=0$

ซึ่งทำให้ $f(x)=0$ สำหรับทุก $x\in\mathbb{R}$ ตามต้องการ

Problem 4 - ยังคิดไม่ออกครับ

Problem 5

Lemma (Well known) ให้ $p\equiv 3\pmod 4$ และ $p\mid a^2+b^2$ จะได้ $p\mid a$ และ $p\mid b$

จะแสดงว่าสิ่งที่โจทย์ต้องการมีจริง ให้ $p_1,p_2,..,p_{2017}\equiv 3\pmod 4$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน

ให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $$N+i\equiv p_i\pmod{{p_i}^2} \textrm{ สำหรับ } i=1,2,...,2017$$ สมมติ $N+i=a^2+b^2$

จะได้ $p_i\mid a^2+b^2$ แต่โดย Lemma จะได้ $p_i\mid a, p_i\mid b$

ซึ่งทำให้ ${p_i}^2\mid a^2+b^2=N+i$ เกิดข้อขัดแย้งกับ $N+i\equiv p_i\pmod{{p_i}^2}$

ดังนั้น $N+1,N+2,..,N+2017$ เป็นจำนวนที่โจทย์ต้องการ

[Beatmania]

ชอบข้อ 1 ครับ มาเสนอวิธีข้อ 1 อีกสองวิธีครับ

Solution1

ให้ $x=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ ถ้า $x\in\mathbb{Q}$ แล้ว

$$\frac{x+p^3}{1+px} =\frac{\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}+p^3}{1+\sqrt[3]{p^4}+\sqrt[3]{p^8}} =\sqrt[3]{p}\in\mathbb{Q}$$

ซึ่งชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้

Solution2

ให้ $r=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ ถ้า $r\in\mathbb{Q}$ แล้วแสดงได้ไม่ยากว่า $q=\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p^{10}},r'=\sqrt[3]{p^4}+\sqrt[3]{p^{20}}$ เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น

$$\frac{p^5r-r'}{p^5-p}=\frac{(p^5-p)\sqrt[3]{p}}{p^5-p}=\sqrt[3]{p}\in\mathbb{Q}$$

ซึ่งชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้

[Beatmania]

เห็นน้องมาร์คทำวันแรกแล้ว ขอทำวันที่สองแบบย่อๆแล้วกันครับ

Problem 6

ใช้ $AH^2+BC^2=BH^2+AC^2+CH^2+AB^2=4R^2$

Problem 7

$$512x^2+x+1=\frac{y-1}{5}(y^4+y^3+y^2+y+1)$$

Problem 8

WLOG ให้ $c^2=a^2+b^2$
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \geq\frac{0.5(a+b)\sqrt{a^2+b^2} +(a^2+b^2)}{ab} \geq2+\sqrt{2}$$

Problem 9

ให้ $P(x,y)$ แทน $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

ดู $P(1,y),P(1,f(1)+f(y))$

ใช้สมบัติจำนวนตรรกยะที่ว่า ทุกๆ จำนวนตรรกยะบวก $x$ จะมีจำนวนนับ $k_x$ ที่ทำให้ $k_x(x+f(x))$ เป็นจำนวนนับ

Problem 10

หาจุดที่มีระยะห่างจากจุด Lattice แตกต่างกันทั้งหมดแล้วขยายวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดนั้นไปเรื่อยๆ

ซึ่งก็สมเหตุสมผลที่จะพิจารณาวงกลมที่มีศูนย์กลางเป็น $(\mathbb{Q}',\mathbb{Q}')$

ขอลงวิธีทำข้อ 9 แบบเต็มๆ นะครับ เพราะชอบไอเดียข้อนี้ครับๆ

Problem 9 Full Solution

สำหรับจำนวนตรรกยะบวก $x,y$ ให้ $P(x,y)$ แทน $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

$P(1,y):=f(f(1)+f(y))=f(1)^2+y$

$P(1,f(1)+f(y)):= f(f(1)+f(f(1)+f(y)))=f(1)^2+f(1)+f(y) \rightarrow f(f(1)+f(1)^2+y)=f(1)+f(1)^2+f(y)$

ให้ $f(1)+f(1)^2=T$ แสดงได้ไม่ยากโดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ได้ว่า

ถ้า $n$ เป็นจำนวนนับ และ $y$ เป็นจำนวนตรรกยะบวก แล้ว $f(nT+y)=nT+f(y)$

จากที่ $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow\mathbb{Q}^+$ ดังนั้น ถ้า $x\in\mathbb{Q}^+$ แล้ว $x+f(x)\in\mathbb{Q}^+$ ดังนั้น ทุกๆ $x\in\mathbb{Q}^+$ จะมี $k_x\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $k_x(x+f(x))\in\mathbb{N}$

$P(x+Tk_x,y):=f((x+Tk_x)f(x+Tk_x)+f(y))=f(x+Tk_x)^2+y$

$$f((x+Tk_x)[Tk_x+f(x)]+f(y))=[f(x)+Tk_x]^2+y$$

$$f(Tk_x[Tk_x+f(x)+x]+xf(x)+f(y))=T^2k_x^2+2Tk_xf(x)+f(x)^2+y$$

จากที่ $k_x(x+f(x))\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $k_x[Tk_x+f(x)+x]\in\mathbb{N}$ ทำให้

$$Tk_x[Tk_x+f(x)+x]+f(xf(x)+f(y))=T^2k_x^2+2Tk_xf(x)+f(x)^2+y$$

$$T^2k_x^2+Tk_xf(x)+Tk_xx=T^2k_x^2+Tk_xf(x)+Tk_xf(x)$$

$$x=f(x)$$

[Thgx0312555]

เหลือแต่ข้อ 4 สินะ
มองให้ง่ายๆก็วาดตาราง 14x14 ครับ

Problem 4

**จะเรียกคนที่เคยเข้าร่วมว่าคนพิเศษนะ
แยกกรณี กรณีแรกมีคนพิเศษที่มีเพื่อนเป็นคนพิเศษและอยู่ห้องเดียวกัน และมีเพื่อนเป็นคนพิเศษที่อยู่โรงเรียนเดียวกัน

ต่อ

ดังนั้นคนที่เหลือจะต้องมีวิธีเลือกคู่กับสามคนนี้อย่างน้อย 1 คน จึงได้ N-3 วิธี (N เป็นจำนวนคน)
ในสามคนนี้เลือกได้อีก 1 คู่
ดังนั้นจึงได้ N-2 วิธี

อีกกรณี คือไม่มีคนดังกล่าวอยู่ ก็ไปดูโรงเรียนที่มีคนพิเศษอย่างน้อยสองคน ดังนั้นคนที่ไม่อยู่โรงเรียนนี้ทุกคนจะสามารถจับคู่กับคนที่อยู่โรงเรียนนี้ เอาไป bound ต่อนิดหน่อย ก็จะจบครับ

[Pitchayut]

เมื่อวานขี้เกียจพิมพ์ โดนพี่เจตัดหน้าเลย ขอมาทำแบบเต็มละกัน

Problem 6 (Sol 1)

โยนแกน $x,y$ ใส่รูป ให้ $A=(0,1), D=(0,0), C=(1,0), B=(-t,0)$ สำหรับบาง $t>0$.

สังเกตว่าถ้า $AB=AC$ แล้ว $\angle BAC=90^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ทำนองเดียวกัน $BA\ne BC$

ดังนั้น เราต้องแสดงว่า $CN=2AM=AB\iff CA=CB\iff t=\sqrt{2}-1$.

จากสูตรจุดกึ่งกลาง $M=\left(\dfrac{-t}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

ให้ $CM$ มีสมการ $y=mx+c$. แทนจุด $C,M$ เข้าไป จะได้ $c=-m=\dfrac{1}{t+2}$.

ดังนั้น $N$ มีพิกัด $\left(0,\dfrac{1}{t+2}\right)$ ดังนั้น $$\begin{align*}
CN=AB &\iff (0-1)^2+\left(\dfrac{1}{t+2}-0\right)^2=(0-(-t))^2+(1-0)^2\\
&\iff 1+\dfrac{1}{(t+2)^2}=t^2+1\\
&\iff t(t+2)=1\\
&\iff t=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}
\end{align*}$$ ตามต้องการ (อย่าลืมว่า $t>0$ นะครับ)

Problem 6 (Sol 2)

ให้ $O,H$ เป็น circumcenter, orthocenter ของ $\Delta ABC$

สังเกตว่าถ้า $AB=AC$ แล้ว $\angle BAC=90^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ทำนองเดียวกัน $BA\ne BC$

ดังนั้น เราต้องแสดงว่า $CN=2AM\iff CA=CB$

ไล่มุมได้ $\angle ACB=45^{\circ}\implies \angle OAB=45^{\circ}$

ดังนั้น $OM=AM$ แต่จาก $CH=2OM$ จะได้ว่า $CH=2AM$ ดังนั้น$$\begin{align*}CN=2AM&\iff CN=CH\\
&\iff N=H\\
&\iff CM\perp AB\\
&\iff CA=CB\end{align*}$$ตามต้องการ

Problem 7

สมมติว่ามี $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ ที่ทำให้ $2560m^2+5m+6=y^5$

จะได้ $y^5\equiv 1\pmod 5\implies y\equiv 1\pmod 5$

ให้ $y=5k+1$ จะได้ $$\begin{align*}
5(512m^2+m+1)&=(5k+1)^5-1\\
&=3125 k^5 + 3125 k^4 + 1250 k^3 + 250 k^2 + 25 k \\
\end{align*}$$ ด้านขวาหารด้วย $25$ ลงตัว ดังนั้น $5\mid 512m^2+m+1\implies 5\mid 2m^2+m+1$

แต่จากการแทน $m=0,1,2,3,4$ พบว่า $5\nmid 2m^2+m+1$ เสมอ ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

Problem 8

คำตอบคือ $2+\sqrt{2}$ ซึ่งบรรลุเมื่อ $c=b, a=\sqrt{2}b$ ต่อไปจะแสดงว่านี่คือค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้

WLOG $a=\sqrt{b^2+c^2}$ โดย Power-Mean $$\left(\dfrac{b^3+c^3}{2}\right)^2\ge\left(\dfrac{b^2+c^2}{2}\right)^3=\dfrac{a^6}{8}\implies b^3+c^3\ge \dfrac{a^3}{\sqrt{2}}$$ ดังนั้น $$\begin{align*}
\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}&\ge a^2\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{bc}\\
&\ge a^2\dfrac{2+\sqrt{2}}{b^2+c^2}\\
&= 2+\sqrt{2}
\end{align*}$$ตามต้องการ

Problem 9 -ยากไปครับ 555

Problem 10

ใช้จุดศูนย์กลางที่ $O=(\sqrt{3},\sqrt{2})$ จากนั้นค่อยๆ ขยายวงกลมไปเรื่อยๆ

เห็นได้ชัดว่า ถ้าวงกลมใหญ่พอ จะคลุมจุดอย่างน้อย $n$ จุด

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ถ้าขยายวงกลมไปเรื่อยๆ แล้ววงกลมจะชนจุด lattice ทีละจุดเสมอ

สมมติว่าวงกลมชนจุด lattice $P=(a,b)$ และ $Q=(c,d)$ เมื่อ $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ และ $a\ne c$ หรือ $b\ne d$ $$\begin{array}{lrcl}
&OP&=&OQ\\
\implies &\sqrt{(a-\sqrt{3})^2+(c-\sqrt{2})^2}&=&\sqrt{(b-\sqrt{3})^2+(d-\sqrt{2})^2}\\
\implies & a^2-2\sqrt{3}a+3+c^2-2\sqrt{2}c+2&=&b^2-2\sqrt{3}b+3+d^2-2\sqrt{2}d+2\\
\implies & \sqrt{2}(d-c)=\sqrt{3}{a-b}\end{array}$$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ และ $a\ne c$ หรือ $b\ne d$

[Beatmania]

ประกาศผลแล้ว ขอแสดงความยินดีกับน้องๆ ที่ได้รับเหรียญด้วยครับๆ อยากทราบ สถิติ+ cutoff ปีนี้ครับๆ

[oniP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ประกาศผลแล้ว ขอแสดงความยินดีกับน้องๆ ที่ได้รับเหรียญด้วยครับๆ อยากทราบ สถิติ+ cutoff ปีนี้ครับๆ

เงินตัด 30 คับบ

[nooonuii]

มาให้ข้อมูลเกี่ยวกับศูนย์ที่ออกข้อสอบครับ

1. (A) มหาวิทยาลัยขอนแก่น
2. (G) โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย
3. (FE) มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตหาดใหญ่
4. (C) มหาวิทยาลัยเชียงใหม่
5. (N) โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์
6. (G) มหาวิทยาลัยขอนแก่น
7. (N) มหาวิทยาลัยศิลปากร
8. (I) มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตหาดใหญ่
9. (FE) มหาวิทยาลัยศิลปากร
10. (C) โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์

ข้อสอบปีนี้ยังคงเทไปทางพีชคณิตเหมือนเดิมเพราะข้อสอบวิชาอื่นมีน้อย

ผมชอบโจทย์ข้อ 5 มากที่สุด และยินดีกับ Beatmania ด้วยครับ

[Beatmania]

ขอบคุณครับอาจารย์ Nooonuii ยินดีด้วยกับข้อ 3,8 นะครับ

ผมรู้สึกว่าข้อสอบปีนี้ยากขึ้นกว่าปีที่แล้วพอสมควรครับๆ สำหรับผม ผมว่าข้อยากสุด 3 ข้อแรกคงจะเป็น 10 9 5 ครับ 555

เท่าที่สอบถามมาคร่าวๆ เกณฑ์น่าจะเป็นตามนี้ครับ

Bronze: 16

Silver: 30

Gold: 42

คนที่ได้คะแนนรวมสูงสุดได้ 55 คะแนนครับ

[Pitchayut]

Cutoff ทอง 42 ครับ เพราะมีคนได้ 42 พอดี แล้วได้เหรียญทองครับ

[กขฃคฅฆง]

อยากเห็นข้อ10 ของ best solution ครับ

[D.E.L.O.N]

ผผมทำ induction backward ได้best solnคับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ D.E.L.O.N

ผผมทำ induction backward ได้best solnคับ

ยังไงหรอครับ