ช่วยเฉลยทีครับ (เรขาคณิต)

[MathTq]

ทรงกลมลูกหนึ่งรัศมี 1 หน่วยและแนบในกล่องลูกบาศก์ใบหนึ่ง ถ้านำทรงกลมเล็กแทรกไปในช่องว่างระหว่างทรงกลมลูกแรกกับกล่องสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้วรัศมีที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของทรงกลมเล็กมีค่ากี่หน่วย

ช่วยเฉลยทีนะครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[poper]

ตอบ $\sqrt{2}-1$ หรือเปล่าครับ
ไม่แน่ใจนะครับ

[Euler-Fermat]

ผมได้ $ r={(\sqrt{2}-1)} ^2 $ อ่ะครับ
ไม่แน่เหมือนกัน เพราะ ผมคิดแบบ 2 มิติ แหะๆ

[poper]

อ่า...ผมคิดผิดไปนิดนึงครับ
น่าจะได้คำตอบตามคุณ Euler-Fermat ล่ะครับ
(ผมก็คิด 2 มิติ ครับ)

[polsk133]

ได้ $r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ อะครับ

[MathTq]

มันเป็นข้อสอบ ijso อะครับคือ มี 4 ตัวเลือก ครับ

1.$ \sqrt{2} -1 $ 2. $\sqrt{3}-1 $
3.$ 2-\sqrt{2} $ 4. $2-\sqrt{3} $

คิดไม่ออกจริงๆ ครับ
ใครคิดได้ เฉลยทีนะครับ

[modern physics]

ผมได้ข้อสามครับ โดยมองด้านบนของลูกบาศก์ครับ

[Amankris]

I J S O 8th

[Thgx0312555]

ได้ $2-\sqrt{3}$
ข้อ 4
ตรงกับที่เฉลยไว้ใน link ครับ

[poper]

ทำไงอ่ะครับ

[MathTq]

อยากได้วิธ๊ทำอะครับ คือดูรูปไม่ออกอะครับ

[MathTq]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ผมได้ $ r={(\sqrt{2}-1)} ^2 $ อ่ะครับ
ไม่แน่เหมือนกัน เพราะ ผมคิดแบบ 2 มิติ แหะๆ

ผมก็ได้เท่านี้อะครับ $(\sqrt{2}-1)^2 $
ถ้าข้อนี่ผมคิดไม่ออก แล้วผมคงไม่ตอบ $ 2-\sqrt{3} $ แน่นอนครับ ผมดูไม่ออกเลยว่า $\sqrt{3}$ มันมาจากไหน

ช่วยเฉลยทีนะครับ คิดไม่ออกจริงๆ ยิ่งเห็นเฉลยยิ่งท้อครับ

[Thgx0312555]

วิธีทำ

1)) เดาเลยว่าทรงกลมเล็กที่ใหญ่ที่สุดต้องสัมผัสวงกลมใหญ่ที่เดียวกับจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกับทรงกลม
(อันนี้ไม่รู้จริงๆพิสูจน์ยังไง แต่ถ้าวาดรูปก็เห็นได้ชัดอยู่)

2)) ถ้าสมมติ วงกลมรัศมี 2r สมมติดังรูป AB เป็นเส้นทแยงมุม P,Q เป็นจุดที่เส้นตัดกับทรงกลม

AB = $2\sqrt{3}r$
PQ = $2r$
AP = BQ = $(\sqrt{3}-1)r$
AQ = $(\sqrt{3}+1)r$

จากตรงนี้ก็เห็นได้ชัดว่า อัตราส่วน AQ : r คงที่

3)) สร้างลูกบาศก์ล้อมวงกลมเล็กอีกที
ให้ AB' เป็นเส้นทแยงมุมวงใหญ่
AB'' เป็นเส้นทแยงมุมวงเล็ก

จะพบว่า AP' = AQ''
แทนค่า...

วิธีก็ประมาณนี้แหละครับ

[หยินหยาง]

รูปนี้พอช่วยได้มั้ยครับ พยายามดูหน่อย ปัญหาไม่ได้ยากที่จะคำนวณแต่อาจยากที่จะจิตนาการ ลองดูนะครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

วิธีทำ

1)) เดาเลยว่าทรงกลมเล็กที่ใหญ่ที่สุดต้องสัมผัสวงกลมใหญ่ที่เดียวกับจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกับทรงกลม
(อันนี้ไม่รู้จริงๆพิสูจน์ยังไง แต่ถ้าวาดรูปก็เห็นได้ชัดอยู่)

2)) ถ้าสมมติ วงกลมรัศมี 2r สมมติดังรูป AB เป็นเส้นทแยงมุม P,Q เป็นจุดที่เส้นตัดกับทรงกลม

AB = $2\sqrt{3}r$
PQ = $2r$
AP = BQ = $(\sqrt{3}-1)r$
AQ = $(\sqrt{3}+1)r$

จากตรงนี้ก็เห็นได้ชัดว่า อัตราส่วน AQ : r คงที่

3)) สร้างลูกบาศก์ล้อมวงกลมเล็กอีกที
ให้ AB' เป็นเส้นทแยงมุมวงใหญ่
AB'' เป็นเส้นทแยงมุมวงเล็ก

จะพบว่า AP' = AQ''
แทนค่า...

วิธีก็ประมาณนี้แหละครับ

งงครับนึกภาพไม่ออก ผมคิดได้$r=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ซึ่งไม่มีในคำตอบ

อ้อ เห็นภาพของคุณหยินหยางแล้วเข้าใจแล้วครับ