โจทย์เศษส่วน

[เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง]

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} Xมีค่าเท่าใด$

ข้อนี้ทำยังไงอ่ะครับ

[TuaZaa08]

ข้อนี้ไม่ยากครับ ใช้หลักว่า
$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{n+1(n+2)} $

My Solution

สังเกตุ $\frac{1}{6} =\frac{1}{1\times 2} -\frac{1}{2\times 3} $
$\frac{1}{24} =\frac{1}{2\times 3} -\frac{1}{3\times 4} $
.
.
.
$\frac{1}{1030200} =\frac{1}{99\times100 } -\frac{1}{100\times 101} $

บวกกันทั้งหมดจะได้ว่า $ \frac{1}{6} +\frac{1}{24}+...+\frac{1}{1030200}= \frac{1}{2} - \frac{1}{10100}$

จะได้ $X= \frac{5049}{10100} $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} Xมีค่าเท่าใด$

ข้อนี้ทำยังไงอ่ะครับ

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} $

$= \frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \frac{1}{3\times4\times5} + ... + \frac{1}{100\times101\times102} $

ซึ่งสามารถจัดรูปเป็นแบบพีชคณิตดังนี้

$\because \ \ \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{(\frac{1}{2})}{k(k+1)} - \dfrac{(\frac{1}{2})}{(k+1)(k+2)}$

$\therefore \ \ \dfrac{2}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$



$\frac{2}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

$\frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

$\frac{2}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5}$
.
.
.
$\frac{2}{101 \cdot 101 \cdot102} = \frac{1}{100 \cdot 101} - \frac{1}{101 \cdot 102}$

ดังนั้น $= \frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \frac{1}{3\times4\times5} + ... + \frac{1}{100\times101\times102} $

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{101 \cdot 102})$

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{10302})$

$ = \frac{1}{2}(\frac{5150}{10302})$

$ = \frac{2575}{10302}$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

ข้อนี้ไม่ยากครับ ใช้หลักว่า
$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{n+1(n+2)} $

My Solution

สังเกตุ $\frac{1}{6} =\frac{1}{1\times 2} -\frac{1}{2\times 3} $
$\frac{1}{24} =\frac{1}{2\times 3} -\frac{1}{3\times 4} $
.
.
.
$\frac{1}{1030200} =\frac{1}{99\times100 } -\frac{1}{100\times 101} $

บวกกันทั้งหมดจะได้ว่า $ \frac{1}{6} +\frac{1}{24}+...+\frac{1}{1030200}= \frac{1}{2} - \frac{1}{10100}$

จะได้ $X= \frac{5049}{10100} $

สมการนี้ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{(n+1)(n+2)} $ ไ่ม่ถูกต้องนะครับ

ที่ถูกคือ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{(n+1)(n+2)}) $

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นด้วยครับคุณอาbanker

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} Xมีค่าเท่าใด$

ข้อนี้ทำยังไงอ่ะครับ

โจทย์ อ.โต้ง?

[เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

โจทย์ อ.โต้ง?

ใช่ครับ