โจทย์ในหัวข้อทฤษฏีบททวินามหนังสือสอวน

[nut@satit]

กำหนด$P(x)$เป็นพหุนามกำลัง n ที่สอดคล้องกับ $P(x)=2^k k\in {1,2,3,4,....,n+1}$ จงหา $P(n+2)$
ป.ล.ผมต้องการแค่วิธีหา $P(0)$ ครับเพราะวิธีที่ผมคิดมันต้องใช้ P(0) อ่ะครับ
แต่ถ้าใครมีวิธีอื่นก็จะดีมากเลยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nut@satit

กำหนด $P(x)$ เป็นพหุนามกำลัง $n$ ที่สอดคล้องกับ

$P(k)=2^k$ สำหรับทุก $k\in \{1,2,3,4,....,n+1\}$

จงหา $P(n+2)$

หมายถึงอย่างนี้หรือเปล่าครับ

[passer-by]

ถ้าโจทย์เป็นแบบเดียวกับคุณ nooonuii บอก

ลองใช้ P(x) ตัวนี้ครับ

$$ P(x)= \bigg( 1+ \binom{x}{1}+\binom{x}{2} +\cdots +\binom{x}{n} \bigg) + \frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!} $$ โดย $ \binom{x}{i}$ เป็นพหุนามดีกรี i กำหนดโดย $ \binom{x}{i} = \frac{x(x-1)...(x-i+1)}{i!}$

[LightLucifer]

งั้นถ้า $x<n$
$P(x)$ ก็หาค่าไม่ได้หรือครับ

[nooonuii]

หาได้ครับ ดูที่นิยามของ $\binom{x}{i}$ ดีกว่าครับ

มันก็คือพหุนามนี่เอง

ถ้าโยงไปหา $\binom{n}{i}$ จะทำให้งง

ที่ผมคิดไว้ก็คล้ายๆกันคือสร้าง

$Q(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x(x-1)}{2!}+\cdots+\dfrac{x(x-1)\cdots (x-n+1)}{n!}$

แล้วก็พิสูจน์ว่า $P(x)=kQ(x)$ สำหรับบาง $k$

$k$ หาได้จาก $P(n+1)$ ครับ

[LightLucifer]

อ๋อ

Get แล้วครับ

THX ครับ

[nut@satit]

ครับ ขอบคุณครับ
ขอโจทย์พวกหลักการสร้างฟังก์ชั่น
เพื่อการนับสองทางและหลักหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเลยนะครับ
1.ให้ $x\in \left\{1,2,3,...,n\right\}$ $A=\left\{S\subseteq X \left.\,\right| n\not\in S\right\} $ และ $B=S\left\{\subseteq X\left|\,\right. n\in S\right\}$ จงใช้หลักหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเพื่อพิสู่จน์ว่า จำนวนสมาชิกของเซต A=จำนวนสมาชิกของเซต B
2.ตั๋วรถเมล์เป็นเลข 6 หลักตั้งแต่ 000000 ถึง 999999 ถ้าผลบวกของเลขโดดใน 3 หลักแรกเท่ากับผลบวกของเลขสามหลักหลังแล้วจะถือว่าเป็นตั๋วโชคดี ถ้าผลบวกของโดดทุกตัวเป็น 27 แล้วจะถือว่าเป็นตั๋วดี จงหาว่ามีตั๋วโชคดีมากกว่าตั๋วดีอยู่กี่ใบ

ถ้าเป็นไปได้อยากได้ solution เต็มครับจะได้ศึกษาแนวทางการเขียนพิสูจน์ด้วยครับ
ผมเขียนพิสูจน์คอมบิไม่ค่อยเป็นครับ

[nooonuii]

1. นิยาม $f:A\to B$ โดย $f(S)=S^{c}$

สมมติว่า $S^c=T^c$ จะได้

$(S^c)^c=(T^c)^c$

$S=T$

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้ากำหนด $T\in B$

จะได้ว่า $n\not\in T$

นั่นคือ $n\in T^c$

ดังนั้นเลือก $S=T^c$ เนื่องจาก $n\in S$ จะได้ $S\in A$

และได้ว่า $f(S)=S^c=(T^c)^c=T$

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง