พิสูจน์ฟังก์ชัน 1-1 และ onto

[PURE MATH]

จงตรวจสอบว่า ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังก์ชันทั่วถึงหรือไม่ พร้อมทั้งพิสูจน์คำตอบ
$$1. f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} นิยามโดย f(n) = (2n , n+3)$$
$$2. ให้ f:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} นิยามโดย f(m,n) = \frac{m}{|n|+1} $$
$$3. ให้ f:\mathbb{R} -{1}\rightarrow \mathbb{R} -{1} นิยามโดย f(x) = (\frac{x+1}{x-1} )^3$$

เตรียมสอบ final ครับ ## principle of mathematics

[PURE MATH]

ช่วยผู้ที่รู้ เข้ามาตอบทีนะครับๆๆ

[จูกัดเหลียง]

ไม่เเน่ใจนะครับ 3.Let $f(x)=f(y)$ so $(1+\dfrac{2}{x-1})^3=(1+\dfrac{2}{y-1})^3\leftrightarrow x=y$
and take $x=\dfrac{2}{\sqrt[3]{a}-1}+1$ we have $$f(\dfrac{2}{\sqrt[3]{a}-1}+1)=a$$
ทำให้ $f$ เป็นทั้ง 1-1 เเละทั่วถึง

[PURE MATH]

ขอบคุณมากๆครับ ตรง กำลังสาม สรุปว่าฐานเท่ากันได้เลยใช่มั้ยครับ จะได้ x=y
เหลือข้อ 1 กับ 2 อ่ะครับ

[PP_nine]

ข้อ 1 ไม่ทั่วถึง แต่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

เพราะไม่มี $n \in \mathbb{Z}$ ใดๆที่ทำให้ $f(n)=(1,1)$ จึงไม่ทั่วถึง (ยกตัวอย่างค้านได้เลย)

และถ้า $(2n,n+3)=(2m,m+3)$ ชัดเจนว่า $n=m$ จึงเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง


ข้อ 2 ทั่วถึง แต่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

เพราะทุกจำนวนตรรกยะสามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{a}{b}$ โดยที่ $a \in \mathbb{Z}$ และ $b \in \mathbb{Z}^+$

ซึ่งเราก็เลือก $m=a$ และ $n=b-1$ ก็จะได้ว่าทั่วถึงทุกจำนวนตรรกยะ

และเนื่องจาก $\dfrac{4}{|1|+1}=\dfrac{8}{|3|+1}$ แสดงว่าไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

[PURE MATH]

ขอบคุณมากๆครับผม

[PURE MATH]

ให้ $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ นิยามโดย $f(n) = n^3 - n^2$
จงตรวจสอบว่าเป็น 1-1 หรือ onto หรือไม่ พร้อมทั้งพิสูจน์คำตอบ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

ให้ $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ นิยามโดย $f(n) = n^3 - n^2$
จงตรวจสอบว่าเป็น 1-1 หรือ onto หรือไม่ พร้อมทั้งพิสูจน์คำตอบ

ไม่เป็น one to one ครับ เนื่องจาก เราจะเห็นว่า $f(0)=f(1)$ แต่ $0 \not = 1$ ใน $\mathbb{Z}$

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

ให้ $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ นิยามโดย $f(n) = n^3 - n^2$
จงตรวจสอบว่าเป็น 1-1 หรือ onto หรือไม่ พร้อมทั้งพิสูจน์คำตอบ

ไม่ onto ด้วยครับ เพราะว่า มี $1 \in \mathbb{Z}$ ที่เราไม่สามารถหา $n \in \mathbb{Z}$ ได้เลยที่
$f(n)=1$ เพราะว่า $x^{3}-x^{2}-1=0$ ไม่มีรากใน $\mathbb{Z}$

[kongp]

ไม่ลองใช้เวป Mathworld ที่ผลิตโปรแกรม Mathematica ตรวจคำตอบดูนะ ไม่เห็นใครโชว์ซะที แบบนี้นะ