ช่วยด้วยครับบบบบบ

[oat_kung]

จงพิสูจน์ว่าถ้า m เป็นจำนวนตรกยะ และ n เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว m+n เป็นจำนวนอตรรกยะ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ oat_kung

จงพิสูจน์ว่าถ้า m เป็นจำนวนตรกยะ และ n เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว m+n เป็นจำนวนอตรรกยะ

สมมติว่า m เป็นจำนวนตรกยะ และ n เป็นจำนวนอตรรกยะ
จะได้ว่า $m=\frac{a}{b}$ เมื่อ $a,b \in \mathbb{Z}$ และ $(a,b)=1$
และ $n=\frac{c}{d}$ เมื่อ $c,d \in \mathbb{Z}$ และ $(c,d)=1$
พิจารณา $m+n=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
เนื่องจาก $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ ดังนั้น $ad+bc \in \mathbb{Z}$ และ $bd \in \mathbb{Z}$
นั่นคือ $m+n$ เป็นจำนวนตรรกยะ

ถูกไม่ถูกยังไงก็ช่วยแก้ไขให้ด้วยน่ะครับ

ขอโทษครับ อ่านตก

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ oat_kung

จงพิสูจน์ว่าถ้า m เป็นจำนวนตรกยะ และ n เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว m+n เป็นจำนวนอตรรกยะ

สมมติให้ m + n เป็นจำนวนตรรกยะ r

นั่นคือ m + n = r

แล้ว n = r +(-m)

แต่จำนวนตรรกยะมีสมบัติปิดของการบวก ดังนั้นในขณะที่ซ้ายมือสมการเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ขวามือเป็นตรรกยะ จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น การสมมติว่า m + n เป็นจำนวนตรรกยะ จึงเป็นไปไม่ได้ นั่นคือ m + n ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ #

สำหรับการพิสูจน์๋ว่า จำนวนตรรกยะมีสมบัิติปิดของการบวก

ให้ a, b เป็นจำนวนตรรกยะโดยที่ a = p/q, b = r/s และ p,q,r,s เป็นจำนวนเต็มที่ q, s ไม่เท่ากับศูนย์

แล้ว a+b = (ps+rq)/qs แต่ ps+rq และ qs เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a+b เป็นจำนวนตรรกยะ #