โจทย์ชวนคิดจากทฤษฎีเซ็ต

[warut]

ผมเห็นโจทย์นี้ในวารสารอันหนึ่ง เห็นว่าน่าสนใจเลยเอามาโพสต์ให้คิดกันเล่นครับ

คำถามมีอยู่ว่า คุณคิดว่า
\[\bigcup_{k=1}^{\infty}P\left(\{1,2,\dots,k\}\right)=P\left(\mathbb N\right)\]
ไหม เพราะอะไรให้เหตุผลประกอบด้วยนะครับ

ในที่นี้ \(\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}\) คือเซ็ตของจำนวนนับ และ \(P\left(X\right)\) แทน power set ของ \(X\) ครับ

ลองตอบกันดูนะครับ ไม่ต้องซีเรียส ผมเองตอนที่เห็นโจทย์ครั้งแรกก็ตอบได้ไม่ดีนักหรอกครับ

[aaaa]

ไม่เท่ากันครับ ซ้ายมือ countable แต่ขวามือ uncountable (มี cardinality \( 2^{\mathbb{N}}=\text{card}\;\!\mathbb{R} \))

[nooonuii]

yes

[warut]

คุณ nooonuii ใจร้ายมากเลยครับ ตอบมาแค่คำเดียว "yes"

[nooonuii]

อ่า...ผมก็ตอบตามคุณ aaaa ไปน่ะครับ
ข้างซ้ายมาจากความจริงในทฤษฎีเซตที่ว่า

A countable union of countable sets is countable

ส่วนข้างขวาก็อย่างที่คุณ aaaa บอกครับ

[warut]

ยังดีที่มีคุณ aaaa และคุณ nooonuii มาตอบ (ขาประจำทั้งน้าน)

ครับ...ถูกต้องแล้วครับ คำตอบก็คือไม่เท่ากัน เหตุผลก็เหมือนกันหมดทั้ง 3 คน
(นับรวมตัวผมด้วย) ถ้าอย่างนั้นผมคงต้องขอถอนคำพูดที่ว่า "ผมเองตอนที่เห็น
โจทย์ครั้งแรกก็ตอบได้ไม่ดีนักหรอกครับ" ขอเปลี่ยนเป็นว่า "ผมเองพอเห็นโจทย์
ครั้งแรกก็ตอบใช้ได้เลยทีเดียว"

แต่คนถามเขาไม่ค่อยพอใจกับคำตอบนี้ครับ นัยว่ามันต้องใช้ความรู้ค่อนข้างเยอะ
ดังนั้นถ้าใคร (รวมทั้งคุณ aaaa และคุณ nooonuii) มีคำตอบที่ง่ายกว่านี้ก็ลอง
เข้ามาตอบกันต่อได้ อีกคำถามนึงคือเราจะอธิบายว่าเซ็ต
\[A=\bigcup_{k=1}^{\infty}P\left(\{1,2,\dots,k\}\right)\]
คือเซ็ตอะไร เอาแบบสั้นๆง่ายให้ได้ใจความนะครับ เจ้าของบทความเขามีคำตอบ
ที่ดีมาก (อย่างน้อยก็ในความเห็นส่วนตัวของผม) ให้กับทั้งสองคำถามเลยครับ

[nooonuii]

อ่า คุณ warut หมายถึงให้จำเพาะเจาะจงไปเลยหรือครับว่าเซตที่ว่านี้มัน equivalent กับ well-known set อะไร

[TOP]

ขอมั่วด้วยคนครับ

หากเรานำตัวเลขในเซตมาเขียน เป็นพิกัดใน Hyper Space ทั้งหมดเช่น
\[
\begin{array}{rcl}
\{x\} & \Rightarrow & (x) \\
\{x, y\} & \Rightarrow & (x,x), (y,y), (x, y), (y, x)
\end{array}
\]
จะพบว่า \( P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) \) ตีความเป็น พิกัดที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดใน Hyper Space ตั้งแต่ \( 1 \) มิติ \( \Rightarrow k \) มิติ ที่มีตัวเลขพิกัดสูงสุดไม่เกิน \( k \)

และเนื่องจาก \( \{1,2,\dots,k\} \) มีจำนวนสมาชิกจำกัด ดังนั้น \( \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty}P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) }\) จึงตีความเป็น พิกัดที่เป็นจำนวนเต็มบวกใน Hyper Space ทั้งหมด ที่มีจำนวนมิติจำกัด

เนื่องจาก \( \mathbb N \) มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จึงตีความ \( P(\mathbb N) \) ได้เป็น พิกัดที่เป็นจำนวนเต็มบวกใน Hyper Space ทั้งหมด โดยจะมีมิติเป็นจำนวนจำกัดหรือไม่ก็ได้

จึงเห็นได้ชัดว่ามันไม่เท่ากัน

อีกหนึ่งแนวคิดคือ จากหัวข้อเก่า ขอถามหน่อยครับ ( การเทียบเท่ากันของเซต - ความสัมพันธ์ ) แล้วนำเรื่องการ mapping ของคุณ warut มาใช้ดังนี้
\( \{1, 2, 3\} \Rightarrow \left( 0.111000\ldots \right)_2 \)
\( \{2, 3, 5\} \Rightarrow \left( 0.01101000\ldots \right)_2 \)
เราจะพบว่า
\[P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) \Rightarrow \{ \left(0.x_1 x_2 \ldots x_k 000 \ldots\right)_2 \} \ \text{โดย}\ x_i \in \{0, 1\} \]
แสดงให้เห็นว่า ตราบใดที่ \( \{1,2,\dots,k\} \) มีจำนวนสมาชิกจำกัด แล้วสับเซตของ \( P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) \) จะ mapping ไปยังสับเซตของจำนวนตรรกยะ บนช่วง \( (0,1) \) เท่านั้น ไม่ได้ครอบคลุมช่วง \( (0,1) \) ทั้งหมด (หรือง่ายๆก็ หา \( k \) ที่ทำให้มี mapping จากสับเซตของ \( P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) \Rightarrow \left(0.010101\ldots \right)_2 \) ไม่ได้ ) แต่สำหรับเซต \( \mathbb N \) ซึ่งมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะมี mapping จากสับเซตของ \( P(\mathbb N) \) ไปยังช่วง \( (0,1) \) ได้ทั้งหมด

อีกแนวความคิดหนึ่งคือ เซตของจำนวนเฉพาะ เป็นสมาชิกของ \( P( \mathbb N)\ \) แต่เราไม่สามารถหา \(m\) ที่ทำให้ เซตของจำนวนเฉพาะเป็น สมาชิกของ \( \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{m}P\left(\{1,2,\dots,k\}\right) } \) ได้

ปล. ผมได้แรงบันดาลใจ มาจากภาพยนต์ Sci-fi ซีรีย์ Cube คือ The Cube, Hyper Cube และ Cube Zero

[warut]

โอ้ว...คำตอบของคุณ TOP ใกล้เคียงกับคำตอบของเจ้าของบทความมากๆครับ

คำตอบของเค้าเป็นอย่างนี้ครับ เนื่องจากสมาชิกของ A ทุกตัวเป็นเซ็ตจำกัด
(แต่ P(N) มีสมาชิกที่เป็นเซ็ตอนันต์ เช่น N) ดังนั้น A จึงไม่เท่ากับ P(N)

ส่วนเซ็ต A ก็คือเซ็ตของ finite subsets ทั้งหมดของ N นั่นเอง

คำถามนี้ผมเอามาจากบทความเรื่อง Intimations of Infinity ใน
Notices ของ AMS ฉบับ August 2004 ครับ