อสมการCauhy

[ยอดคัมภีร์]

มาตั้งโจทย์แลกเปลี่ยนกันดีไหมครับ
เอาแบบง่ายๆก่อนนะครับ
1.ให้$a,b\in R^+$
จงแสดงว่า $$(a^2\sqrt{a}+\sqrt{6}\sqrt{a^3b^2+a^2b^3}+b^2\sqrt{b})^2\leq (a+b)^5$$

2.ให้$x_1,x_2,...x_8\in R$ และ $x_1+2x_2+...+8x_8=1$
จงแสดงว่า $$\sqrt{x_1} +2\sqrt{x_2} +...+8\sqrt{x_8} \leqslant 6$$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ยอดคัมภีร์

มาตั้งโจทย์แลกเปลี่ยนกันดีไหมครับ
เอาแบบง่ายๆก่อนนะครับ
1.ให้$a,b\in R^+$
จงแสดงว่า$$(a^2\sqrt{a}+\sqrt{6}\sqrt{a^3b^2+a^2b^3}+b^2\sqrt{b})^2\leqslant (a+b)^5$$

โดยอสมการโคชี
$(a^2+2ab+b^2)(a^3+3(a^2b+ab^2)+b^3) \geq (a^{\frac{5}{2}}+(6a^3b^2+6a^2b^3)^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{5}{2}})^2$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ยอดคัมภีร์

2.ให้$x_1,x_2,...x_8\in Rและx_1+2x_2+...+8x_8=1$
จงแสดงว่า$$\sqrt{x_1} +2\sqrt{x_2} +...+8\sqrt{x_8} \leqslant 6$$

โดยอสมการโคชี
$36(1)=(1+2+3+...+8)(x_1+2x_2+...+8x_8) \geq (\sqrt{x_1} +2\sqrt{x_2} +...+8\sqrt{x_8})^2$

งั้นผมขอตั้งต่อ(ขอเกรียนมั่ง)
ให้ $x,y,z \geq 0$ และ $xy+yz+zx=1$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc}(\frac{1}{1+x+xy}) > \frac{9}{10}$$