การหารากของสมการกำลัง 5 วิธีผม ( ช่วยกันวิจารณ์หน่อยคับ )

[Math man]

สมการกำลัง 5 ก็หารากได้ !!!

รูปทั่วไปของสมการกำลัง 5 คือ ax^{ 5 } + bx^{ 4 } + cx^{ 3 } + dx^{ 2 } + ex + f = 0

ผมค้นพบว่า ถ้า รากของสมการ น b/a เราสามารถหารากของสมการได้ถ้า

( c ฑ ึ[c^{ 2 } - 4ae] ) / 2a = ( d ฑ ึ[d^{ 2 } - 4bf] ) / 2b


ยังไม่ได้ลองใช้ดูเลยคับ ไม่รู้ว่าถูกรึป่าว

พี่ๆช่วยกัน ลงความเห็นด้วยคับ ที่ผมคิดมานี่ถูกรึป่าว

[Math man]

พิมพ์ผิดตรงที่ว่า ถ้ารากของสมการ น b/a

แก้เป็น ถ้ารากของสมการ น -b/a

[Mastermander]

ผมค้นพบว่า ถ้า รากของสมการ น b/a เราสามารถหารากของสมการได้ถ้า

$$ \frac{c\pm \sqrt{c^2-4ae}}{2a} = \frac{d \pm \sqrt{d^2-4ef}}{2b} $$

แล้วจะหารากได้อย่างไรครับ

[Donovan]

ยังงี้ใช่ป่ะคับ การหารากสมการกำลัง 5 ( ตามความเข้าใจผมนะ )


จากรูปทั่วไป ax^{ 5 } + bx^{ 4 } + cx^{ 3 } + dx^{ 2 } + ex + f = 0

x^{ 4 } ( ax+b ) + x^{ 2 } ( cx+d ) + ( ex+f ) = 0

x^{ 4 } + ( ( cx+d )/( ax+b ) ) x^{ 2 } + ( ( ex+f )/( ax+b ) ) = 0 , x น -b/a

จัดรูปใหม่ ( x^{ 2 } + r ) ( x^{ 2 } + ( ( mx+n )/( ax+b ) ) ) = 0

r , m , n คือ ตัวแปรใดๆ ที่ทำให้สมการเป็นจริง โดยมีความสัมพันธ์

mr = e ____________(1)
nr = f _____________(2)
ar + m = c ____________(3)
br + n = d ____________(4)


เอา m = e/r แทนใน (3) , ar + e/r = c

r = (c ฑ ( ึ( c^{ 2 } - 4ae ) ) )/2a _____________(5)

เอา n = f/r แทนใน (4) , br + f/r = d

r = (d ฑ ( ึ( d^{ 2 } - 4bf ) ) )/2b ______________(6)

ทีนี้ลองแทน r = e/m ใน (3) , ae/m + m = c

m = (c ฑ ( ึ( c^{ 2 } - 4ae ) ) )/2 _____________(7)

และ r = f/n ใน (4) , bf/n + n = d

n = (d ฑ ( ึ( d^{ 2 } - 4bf ) ) )/2 _______________(8)

จากสมการข้างบนจะได้ว่า r = m/a และ r = n/b

\ m/n = a/b

และ c = m/2

d = n/2

\ m/n = c/d

จึงได้ความสัมพันธ์ว่า a/b = c/d = m/n = e/f

จากสมการ ( x^{ 2 } + r ) ( x^{ 2 } + ( ( mx+n )/( ax+b ) ) ) = 0

แปลงเป็น ( x^{ 2 } + r ) ( x^{ 2 } + a/m ) = 0 ทีนี้ก็หารากได้ 4 ตัวแล้วใช่มั๊ย

x = ฑ ึ-r , ฑ ึ -a/m


สรุปเป็นว่า


ax^{ 5 } + bx^{ 4 } + cx^{ 3 } + dx^{ 2 } + ex + f = 0 เมื่อ x น -b/a


จะหารากได้เมื่อ a/b = c/d = e/f !!!!!!!


พี่ๆช่วยตรวจทานด้วยคับ เพราะผมรีบคิดรีบพิมพ์มาก แหะๆ

[Mastermander]

อ่านแล้วไม่เข้าใจอะครับ

ช่วยแสดงตัวอย่างการแก้สมการนี้ให้ดูหน่อยครับ

\[ x^5+2x^4+5x^2-16x-12=0 \]

[Donovan]

เอ๋? จริงๆผมไม่ต้องพิสูจน์อย่างนั้นก็ได้นี่นา ลืมไปคับ จริงๆถ้าจากรูปทั่วไปของสมการกำลัง 5


ax^{ 5 } + bx^{ 4 } + cx^{ 3 } + dx^{ 2 } + ex + f = 0

ถ้า a/b = c/d = e/f และรากสมการ x น -b/a แค่สังเกตดูก็จะหารากได้ไม่ยากครับ

ส่วนโจทย์ที่ให้มา x5+2x4+5x2−16x−12=0 ใช้วิธีนี้หาไม่ได้คับ แหะๆๆ

เพราะ 1/2 น 0/5 น -16 / -12

วิธีนี้จะหาได้ถ้า เช่น สมการ 6x^{ 5 } + 5x^{ 4 } + 18x^{ 3 } + 15x^{ 2 } + 3x + 5/2 = 0

2x^{ 5 } - 7x^{ 4 } + x^{ 3 } - (7/2)x^{ 2 } + 22x - 77 = 0

12x^{ 5 } - 8x^{ 4 } + 6x^{ 3 } - 4x^{ 2 } + 3x - 2 = 0

วิธีผมหาได้แต่สมการรูปแบบนี้คับ

[Mastermander]

เงื่อนไขของคุณเยอะไปอะครับ

จะหารากได้เมื่อ....... แล้วหารากอย่างไรต่อครับ

เช่นสมการ ที่คุณกำหนดขึ้นบอกว่าใช้วิธีคุณได้ แล้วผลเฉลยมันคืออะไรครับ

ส่วนสมการของผมที่ตั้งไว้ด้านบนคือ

$$ (x^2+4)(x^2-x-1)(x+3)=0 $$

ครับ

[nongtum]

เสริมคุณ Mastermander นึดนึงละกันครับ

สมการของคุณ donovan แนวคิดน่าจะเป็นแบบนี้ครับ:
$$ax^5+\dots+f=(ax+b)(x^4+mx^2+n)=(ax+b)(x^2+p)(x^2+q)=0$$
ซึ่ง p,q ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง
ข้อควรระวัง คือ การพิสูจน์อันแรกมีการหารด้วยศูนย์ หรือไม่คำตอบหายไปหนึ่งตัวจากการหารครับ

ปล. หากจะใช้ TeX กรุณาปิดสมการหรือสัญลักษณ์ด้วย $...$ หรือ [ itex ]...[ /itex ] (ไม่เว้นวรรค) ด้วยครับ

[Donovan]

ขอยกตัวอย่างที่ผมยกมาสักข้อนึงนะคับ

12x^{ 5 } - 8x^{ 4 } + 6x^{ 3 } - 4x^{ 2 } + 3x - 2 = 0

4x^{ 4 } ( 3x - 2 ) + 2x^{ 2 } ( 3x - 2 ) + ( 3x - 2 ) = 0

มีรากตัวนึง = 2/3 แน่ๆ

4x^{ 4 } + 2x^{ 2 } + 1 = 0

x^{ 2 } = ( -2 ฑ ึ( 4 - 16 ))/8

จะได้ค่า x ทั้งหมด 4 ค่า


รวมกันก็ได้ 5 รากพอดี แหะๆๆๆ

พอเห็นภาพแล้วใช่ป่ะคับ

[Mastermander]

โอเคครับ พอเข้าใจแล้วครับ

[Math man]

ขอบคุณ สำหรับแนวคิดคุณ Donovan นะคับ สมกับเป็น คุณ Donovan จริงๆ ตอนนี้ผมคิดว่า

ผมหาสูตรทั่วไปในการรากของ สมการกำลัง 5 ได้แล้ว โดยใช้แนวคิดของคุณน่ะแหละ เดี๋ยวผมจะตั้ง

เป็นกระทู้ต่อไป คอยติดตามด้วยคับ

[Donovan]

เย้ !!!! ดีใจจังคับ ผมคิดออกแล้ว วิธีการหาราก ของสมการกำลัง 5 ใดๆ แต่ว่าผมใช้เวลาประมาณ 3 ชั่วโมงใน

การคิด เขียนการคำนวณได้ประมาณ 3 หน้ากระดาษ สูตรมันยาวมากคับ ผมคงเอามา post ไม่ได้ ถ้าผม เอาไป

scan แล้วมา post ได้ป่ะพี่ ผมอยากให้พี่ๆช่วยตรวจวิธีของผมให้หน่อยอ่ะคับ