โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?

[กิตติ]

ลุงBankerขยันจังครับ....ผมมัวแต่นั่งคัดข้อสอบไม่ทันเห็นลุง
เดี๋ยวโพสหมดครบห้าชุดแล้วจะช่วยทำครับลุง

ผมว่าข้อสอบคัดเด็กบ้านเรา น่าจะโหดกว่าเยอะเลย
เท่าที่เฉลยกัน คำตอบน่าจะโอเค

[กิตติ]

*****________ชุดที่๕__________*****

1.(NSEJS_2011-12)
ถ้า $a^2+b^2+c^2+d^2=25$ แล้วข้อใดถูก
(1) $ab+bc+cd+da \leqslant 25$
(2) $ab+bc+cd+da\geqslant 25$
(3) $ab+bc+cd+da \geqslant \frac{25}{2} $
(4) $ab+bc+cd+da \geqslant \frac{25}{2}$

2.(NSEJS_2011-12)
$a(a+b)=36$ และ $b(a+b)=64$ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าของ $a-b$

3.(NSEJS_2011-12)
สี่เหลี่ยมลูกบาสก์และรูปทรงกลมที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน จะมีอัตราส่วนของปริมาตรรูปทรงกลมต่อสี่เหลี่ยมลูกบาสก์เท่ากับเ่ท่าไหร่

4.(NSEJS_2011-12)
$a,b,c$ เป็นจำนวนบวก แล้ว $\frac{a+c}{b+c} $ มีค่า
(1) $<\frac{a}{b} $ เสมอ
(2) $>\frac{a}{b} $ เสมอ
(3) $>\frac{a}{b} $ เมื่อ $a>b$
(4) $>\frac{a}{b} $ เมื่อ $a<b$

5.(NSEJS_2011-12)
กำหนดจุด $A,B,C$ ในระนาบ มีพิกัดคือ $(a,b+c),(b,c+a),(c,a+b)$ ตามลำดับ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ในเทอมของ $a,,b,c$

6.(์NSEA 2010-11)
เมื่อ $\sec A+\tan A =a$ จงหาค่าของ$\sin A$

7.(์NSEA 2010-11)
กำหนดให้ $x+y=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ $xy$

8.(์NSEA 2010-11)
วงกลมวงหนึ่งสัมผัสแกน $y$ ที่จุด $P(0,9)$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $A(3,0)$ และ จุด $B$.จงหาพิกัดของจุด $B$

9.(์NSEA 2010-11)
$\alpha, \beta $ เป็นรากของสมการ $x^2+x+3=0$ จงหาค่าของ $\alpha^6+ \beta^6 $

10.(์NSEA_senior 2009)
$\cos 10^\circ -\sin 10^\circ =k$. จงหา $\cos 20^\circ $

11.(์NSEA_senior 2009)
ในสามเหลี่ยม ABC มีค่า $\cos A+\cos B+2\cos C=2$ แล้วความยาวของแต่ละด้านเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต,เรขาคณิต หรือ ฮาร์โมนิค

12.(์NSEA_senior 2009)
$\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}} $ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของ $a,b$ จงหาค่าของ $n$

13.(์NSEA_senior 2009)
มีเส้นตรงจำนวน 5 เส้นมีความยาว $1,2,3,4,5$ จงหาจำนวนสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากการนำเส้นตรงกลุ่มนี้มาสร้าง

14.(์NSEA_senior 2009)
$\alpha, \beta, \gamma, \delta $ เป็นรากของสมการ $x^2(4x^2-9)+x(4x-6)=6$.จงหาค่าของ $\frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta }+ \frac{1}{\gamma} +\frac{1}{\delta} $

15.(์NSEA_senior 2009)
จงหาเศษจากการหาร $7^{2010}$ ด้วย $25$

16.(์NSEA_senior 2009)
กำหนดให้ $f(mn)=f(m+n)$ สำหรับทุกค่า $m,n \in R$
ถ้า $f(2)=2009$ จงหาค่าของ $f(2^{2009})$

17.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาหลักหน่วยของ $1+9+9^2+9^3+...+9^{2009}$

18.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาผลรวมของรากสมการ $\left|\,x-1\right|^2-5\left|\,x-1\right|+6=0 $

19.(์NSEA_Junior 2009-10)
จำนวนเต็มบวก $x$ เมื่อหารด้วย $47$ แล้วเหลือเศษ $11$ จงหาเศษจากการหาร $x^2$ ด้วย $47$

20.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาค่า $x$ จากสมการ $x=1+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...} } } } $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****

2.(NSEJS_2011-12)
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $D$ บน $AC$ ที่ทำให้ $\angle ABD=\frac{1}{2} \angle ABC$. ถ้า $AB=36,BC=48,CD=28$ จงหาความยาว $DA$

คร่าวๆนะครับ

โดยสามเหลี่ยมคล้าย

$\frac{m}{48} = \frac{36-m}{36} = \frac{a}{28+a}$

จะได้

$m = \frac{144}{7}, \ \ \ a = 21 $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลุงBankerขยันจังครับ....ผมมัวแต่นั่งคัดข้อสอบไม่ทันเห็นลุง
เดี๋ยวโพสหมดครบห้าชุดแล้วจะช่วยทำครับลุง

ผมว่าข้อสอบคัดเด็กบ้านเรา น่าจะโหดกว่าเยอะเลย
เท่าที่เฉลยกัน คำตอบน่าจะโอเค

งั้นเดี๋ยวรอให้โพสต์เสร็จก่อนครับ

[กิตติ]

ครบแล้วครับ

ชุดที่๕..6.(์NSEA 2010-11)
เมื่อ $\sec A+\tan A =a$ จงหาค่าของ$\sin A$

$\frac{1+\sin A}{\cos A} =a$
$\sin A=a\cos A-1$
$\sin A^2+\cos^2 A=1$
$1-2a\cos A+a^2\cos^2 A+\cos^2 A=1$
$(1+a^2)\cos A^2-2a\cos A=0$

$\cos A((1+a^2)\cos A-2a)=0$ เนื่องจาก $\cos A\not= 0$
$\cos A=\frac{2a}{1+a^2} $

$\sin A=\sqrt{1-\cos ^2A} $
$=\sqrt{1-\left(\,\frac{2a}{1+a^2}\right)^2 } $

$=\sqrt{\frac{(a^2-1)^2}{(1+a^2)^2} } $

$=\frac{\left|\,a^2-1\right| }{1+a^2} $

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

17.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาหลักหน่วยของ $1+9+9^2+9^3+...+9^{2009}$
$

วิธีทำ

$(1+9)+(9^2+9^3)+...+(9^{2008}+9^{2009})$

$=10+9^2(10)+9^4(10)+...+9^{2008}(10)$

$=10(1+9^2+9^4+...+9^{2008})$

ลงท้ายด้วย $0$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****


8.(NSEJS_2010-11) เส้นรอบรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเป็นมุมฉากเท่ากับ $2p$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ในเทอมของ $p$

$2a +\sqrt{2}a = 2p$

$2 + \sqrt{2} = \frac{2p}{a}$

$ 4+2 +4\sqrt{2} = \frac{4p^2}{a^2} $

$a^2 = \frac{4p^2}{6+4\sqrt{2}}$

$ \frac{1}{2}a^2 = \frac{4p^2}{4(3+2\sqrt{2})} = \frac{p^2}{3+2\sqrt{2}}$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

10.(์NSEA_senior 2009)
$\cos 10^\circ -\sin 10^\circ =k$. จงหา $\cos 20^\circ $

วิธีทำ ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง

$\cos^210^\circ +\sin^2 10^\circ-2\cos 10^\circ\sin 10^\circ =k^2$

$2\cos 10^\circ\sin 10^\circ=1-k^2$

$\sin 20^\circ=1-k^2$

$\cos 20^\circ=\sqrt{-k^4+2k^2} $

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

15.(์NSEA_senior 2009)
จงหาเศษจากการหาร $7^{2010}$ ด้วย $25$

เนื่องจาก $7^2\equiv -1(mod 25)$

ดังนั้น $7^{2010}\equiv (-1)^{1005}\equiv 24(mod 25)$

ตอบ $24$

[วะฮ่ะฮ่า03]

10.ขอละองศาไว้ครับ(พิมพ์ไม่เป็น)
$sin10-cos10=k$
ยกกำลังสอง
$1-2sin10cos10=k^2$
$2sin10cos10=1-k^2=sin20$
จาก $(sin20)^2+(cos20)^2=1$
$(1-k^2)^2+(cos20^2)=1$
$cos20=k\sqrt{2-k^2} $

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

19.(์NSEA_Junior 2009-10)
จำนวนเต็มบวก $x$ เมื่อหารด้วย $47$ แล้วเหลือเศษ $11$ จงหาเศษจากการหาร $x^2$ ด้วย $47$

วิธีทำ

$x\equiv 11(mod 47)$

จะได้ $x^2\equiv 121\equiv27 (mod 47)$

ตอบ$27$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****

10.(NSEJS_2010-11)
ถ้า $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นรากของสมการ $(x-2)(x^2+6x-11)=0$ .จงหาค่าของ $\alpha+ \beta +\gamma $

$x-2 = 0 \ \ \ \to \ x = 2$


$x^2+6x-11=0$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} = -3 - 2\sqrt{5}, \ \ -3 +2\sqrt{5} $

$\alpha + \beta + \gamma = 2-3-3 = -4$

[วะฮ่ะฮ่า03]

9.a+b=-1 ab=3
$a^6+b^6=[(a+b){(a+b)^2-3ab)}]-2(ab)^3$
=8-54=-46

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

18.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาผลรวมของรากสมการ $\left|\,x-1\right|^2-5\left|\,x-1\right|+6=0 $

วิธีทำ แยกตัวประกอบจะได้

$(|x-1|-3)(|x-1|-2)=0$

ดังนั้น $|x-1|=2$ หรือ $3$

จะได้ $x=-2,-1,3,4$

ผลรวม $=4$

[วะฮ่ะฮ่า03]

16.$f(2)=f(3)=f(4)...=f(2^{2009})=2009$