โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

2.(NSEJS_2011-12)
$a(a+b)=36$ และ $b(a+b)=64$ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าของ $a-b$

วิธีทำ เอาสองสมการบวกกันจะได้

$a+b=10$

ดังนั้น $a=3.6,b=6.4$

$a-b=-2.8$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****

14.(์NSEA 2010-11)
สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับ $4\sqrt{3} $ จงหาพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมรูปนี้

จากข้อมูลที่ให้มา ได้ว่า สามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านยาว 4 หน่วย



รัศมี = $ \frac{2}{3} \times 2\sqrt{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3} $

[วะฮ่ะฮ่า03]

2.$\frac{a}{b} =\frac{36}{64} =\frac{9}{16} $
ให้ $a=9x$ $b=16x$
$9x(25x)=36$
$x=\frac{2}{5} $
$a-b=-7x=-\frac{14}{5} $

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

7.(์NSEA 2010-11)
กำหนดให้ $x+y=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ $xy$

วิธีทำ จาก $(\sqrt{x} -\sqrt{y} )^2\geqslant 0$

ดังนั้น $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$

จะได้ $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4} $

ตอบ $\frac{1}{4}$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

5.(NSEJS_2010-11) ถ้า $x^2-5x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{x^{10}+1}{x^5} $

วิธีทำ จากโจทย์ถามว่า $x^5+\frac{1}{x^5}=?$

และ $x^2-5x+1=0$ หาร $x$ ตลอด $(x\not= 0)$

จะได้ $x+\frac{1}{x}=5$

นำ $x+\frac{1}{x}=5$ ยกกำลัง 2

$x^2+\frac{1}{x^2}=23$

และนำ $x+\frac{1}{x}=5$ ยกกำลัง 3

$x^3+\frac{1}{x^3}=110$

$(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})=23(110)$

$x^5+\frac{1}{x^5}+x+\frac{1}{x}=2530$

$x^5+\frac{1}{x^5}=2525$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

11.(์NSEA 2010-11)
จากการกระจาย $(a+b+c)^{73}$ มีจำนวนพจน์ทั้งหมดกี่พจน์

วิธีทำ โจทย์เหมือนกับการเเจกของ $73$ ชิ้นให้ $3$ คน $(a,b,c)$ โดยจะไม่ได้รับเลยก็ได้

โดย $stars~and~bars$ จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{73+3}{3-1} =\binom{76}{2}=2850$ พจน์

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

18.(์NSEA 2010-11)
ถ้า $0<a<1$ จงหาค่าของ$log(1+a)+log(1+a^2)+log(1+a^4)+log(1+a^8)+...$

วิธีทำ

$log(1+a)+log(1+a^2)+log(1+a^4)+log(1+a^8)+...$

=$log((1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)+...)$

=$log(\frac{(1-a)((1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)+...)}{1-a} )$

=$log\frac{1}{1-a}$ เนื่องจาก $0<a<1$

[วะฮ่ะฮ่า03]

12.$\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}} = \frac{2}{\frac{1}{a} +\frac{1}{b} } $
$=\frac{2ab}{a+b} $
ถ้า $a^n+b^n=2ab ...1$
แล้ว $a^{n-1}+b^{n-1}=a+b...2$
กรณี $a\not= b$
2xab ; $a^nb+b^na=a^2b+ab^2...3$
1xa ; $a(a^n)+a(b^n)=2a^2b...4$
4-3 ; $(a-b)(a^n)=a^2b-ab^2=ab(a-b)$
$a^n=ab$
ดังนั้น $ a^{n-1}=b $ และ $ a=b^{\frac{1}{n-1} }$
แทนลง 2 ; $b+b^{n-1}=b^{\frac{1}{n-1} }+b$
ดังนั้น $n-1=\frac{1}{n-1} $
n=2,0
กรณี a=b

$(2a^n)(2a)=(2a^2)(2a^{n-1})$
$a^{n+1}=a^{n+1} $
$n\in \mathbf{R} $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****

15.(์NSEA 2010-11)
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีจุดบนด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งอยู่ห่างจากด้านที่เหลือเท่ากับ $m$ และ $n$ จงหาความยาวที่น้อยที่สุดของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้

ยังไม่ได้ตรวจสอบครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****


19.(์NSEA 2010-11)
จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนายาวเท่ากับ $10,25$ ซม.และสองด้านที่เหลือที่ไม่ขานกันยาวเท่ากับ $13,14$ ซม.

โดยปิธากอรัส

x = 6.6

y = 11.2

พื้นที่ = $\frac{1}{2} \times 11.2 \times (10+25)= 196 $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****



3.(NSEJS_2011-12)
สี่เหลี่ยมลูกบาสก์และรูปทรงกลมที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน จะมีอัตราส่วนของปริมาตรรูปทรงกลมต่อสี่เหลี่ยมลูกบาสก์เท่ากับเ่ท่าไหร่

$6a^2 = 4 \pi r^2$

$ a = r \sqrt{\frac{2}{3} \pi}$

$\frac{ปริมาตรทรงกลม}{ปริมาตรลูกบาศก์} = \dfrac{\frac{4}{3} \pi r^3}{a^3}$

$ = \dfrac{\frac{4}{3} \pi r^3}{(r \sqrt{\frac{2}{3} \pi})^3}$

$ = \frac{21}{22} \sqrt{\frac{44}{21}} = \frac{\sqrt{11\times21} }{11}$

ตัวเลขไม่ค่อยสวย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

20.(์NSEA_Junior 2009-10)
จงหาค่า $x$ จากสมการ $x=1+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...} } } } $

$x=1+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...} } } } $

$x- 1 = \frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...} } } } $

$x-1 = \frac{1}{x +(x-1)}$

$x-1 = \frac{1}{2x-1}$

$2x^2-3x = 0$

$x = \frac{3}{2}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

13.(์NSEA_senior 2009)
มีเส้นตรงจำนวน 5 เส้นมีความยาว $1,2,3,4,5$ จงหาจำนวนสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากการนำเส้นตรงกลุ่มนี้มาสร้าง

5 เลือก 3 ได้ 10 รูป

แต่มีสามเหลี่ยมที่สร้างไม่ได้คือ
123, 124, 125
134, 135
145

จึงเหลือแค่ 4 รูป

234 235
245
345

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

19.(์NSEA_Junior 2009-10)
จำนวนเต็มบวก $x$ เมื่อหารด้วย $47$ แล้วเหลือเศษ $11$ จงหาเศษจากการหาร $x^2$ ด้วย $47$

จำนวนเต็มบวก $ \ x \ $ ที่น้อยที่สุด ที่เมื่อหารด้วย $ \ 47 \ $ แล้วเหลือเศษ $ \ 11 \ $ คือ $ \ 11 \ $

$x^2 = 121 \ $หารด้วย 47 เหลือเศษ 27 $ \ \ \frac{121}{47} = 2 + \frac{27}{47}$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****
11.(์NSEA_2010-11)
สามเหลี่ยม ABC มีมุม $A$ เป็นมุมฉาก โดยมีด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ คือ $a,b,c$ ตามลำดับ
จงหาค่าของ $\tan ^{-1}\left(\,\frac{b}{a+c} \right) +\tan ^{-1}\left(\,\frac{c}{a+b} \right)$

ถ้าให้ $tan x =\dfrac{b}{a+c} $

$tan 2x = \dfrac{\frac{2b}{a+c}}{1-\frac{b^2}{(a+c)^2}} = \dfrac{(a+c)2b}{a^2+c^2+2ac-b^2} = \dfrac{b}{a}$

$tan y =\dfrac{c}{a+b} $

ทำนองเดียวกันก็จะได้

$tan 2y = \dfrac{a}{b} = tan(\dfrac{\pi}{2}-2x)$

$2x+2y=2x+\dfrac{\pi}{2}-2x=\dfrac{\pi}{2}$

$x+y=\dfrac{\pi}{4}$