สูตรหาจำนวนเส้นทแยงมุม

[square1zoa]

แถมอีกหน่อย

สูตรการหาจำนวนจุดตัดของเส้นทแยงมุมคือ $\binom{n}{4}$ เมื่อ $n$ คือจำนวนเหลี่ยม

[banker]

1 จุด ลากเส้นได้ 0 เส้น
2 จุด ลากเส้นได้ 1 เส้น
3 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 เส้น
4 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 +3 เส้น
5 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 +3 + 4 เส้น
6 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 +3 + 4 + 5 เส้น
7 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 + 3 + 4 + 5 เส้น
8 จุด ลากเส้นได้ 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 เส้น
.
.
.
.
n จุด ลากเส้นได้ 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.......+ (n-1) เส้น

จากสูตรพื้นฐานที่คุ้นเคย $\frac{(ปลาย)(1+ปลาย)}{2}$ หรือ $\frac{n(1+n)}{2}$

คราวนี้ก็แทนค่าสูตร
n จุด ลากเส้นได้ $\frac{(n-1)[1+(n-1)]}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$ เส้น

แต่ n จุด ก็คือ n เหลี่ยม หรือ n ด้าน ถ้าเราลบจำนวนด้านออกไป ก็จะเหลือเส้นที่เป็นเส้นทแยงมุม
(ตรงนี้ ลองทดสอบจากข้อความข้างต้นดูครับ เช่น 6 จุด (ก็คือ หกเหลี่ยม) ลากได้ 15 เส้น
ลบจำนวนด้าน คือ 6 ก็เหลือ 9 เส่น ดังนั้น รูปหกเหลี่ยมมีเส้นทแยงมุม 9 เส้น)

ดังนั้น n เหลี่ยม จะมีเส้นทแยงมุม = เส้นที่เรานับได้ - จำนวนเหลี่ยมหรือจำนวนด้าน

เส้นทแยงมุมของ n เหลี่ยม = $\frac{(n-1)n}{2} - n = \frac{(n^2 -n - 2n)}{2} = \frac{(n-3)n}{2} $ เส้น

พิสูจน์แบบประถมๆ น่าจะเข้าใจนะครับ