การจัดการกบ dx และสมการในรูป differential form

[spkcc]

เวลาเราเขียนสมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปร เช่น g(y) dy/dx = h(x)

แล้วหาผลเฉลยโดยการอินทิเกรตเทียบ x ทั้งสองข้าง จะได้ว่า
∫ g(y) dy/dx dx = ∫ h(x) dx
∫ g(y) dy = ∫ h(x) dx


โดยที่ dy/dx dx = dy
ผมไม่เข้าใจตรงจุดนี้ครับ
จำได้ว่าอาจารย์เคยสอนว่า d/dx ตัวนี้ เป็นตัวบอกว่า x เป็นตัวแปรอิสระ เท่านั้น ไม่ใช่การหาร แล้วไม่สามารถนำไปบวกลบ คูณหารได้
แต่ทำไมในที่นี้ dy/dx dx = dy ทำไมเหมือนกับว่าเป็นการนำ dx เข้าไปคูณทั้งสมการ แล้วหารตัดกันได้ครับ

และอีกอย่างหนึ่งที่ผมไม่เข้าใจสืบเนื่องกันมาก็คือ สมการที่อยู่ในรูป differential form
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
สมการนี้มีความหมายอย่างไรหรือครับ ทำไมมันมี dx เทอมนึง dy เทอมนึง อย่างนี้ล่ะครับ

ในหนังสือบอกว่ามันมาจาก derivative ของฟังก์ชั่นสองตัวแปร z = f(x(t),y(t))
โดย
dz/dt = ∂f/∂x dx/dt + ∂f/∂y dy/dt และ
dz = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy

แล้วมันก็มาอีกแล้วครับ T_T ทำไมเราจึงกำจัด dt ออกไปจากสมการได้หละครับ

สรุป สองคำถามครับ
1. การดำเนินการของ dx ในสมการข้างต้นนี้ มีที่มาที่ไปอย่างไรครับ และ
2. ความหมายของสมการในรูป differential form M(x,y) dx + N(x,y) dy = c คืออะไรครับ

รบกวนด้วยนะครับ
ขอบคุณมากๆครับ

[Amankris]

มาจาก ค่าเชิงอนุพันธ์รวม (total differential) ครับ