โจทย์ข้อที่สาม จาก Donovan

[Donovan]

คราวนี้เอาโจทย์เจ๋งๆของ Donovan มาฝากครับ !!!!! คราวนี้ไม่พลาด อิ อิ อิ

ทรงรีสามมิติอันหนึ่งเป็นแบบตัน ซึ่ง มีความยาวเตสเรกตัม เป็น 4 และมีความยาวของแกนเอกเป็น

6 เท่าของแกนโท ถ้าทรงรีอันนี้มีปริมาตรเป็น 10p จงหาว่า

ถ้าตัดครึ่งทรงรีนี้ออกแนวแกนเอกแล้ว ( ลองนึกภาพตามนะครับ ผมเอารูปมาใส่ไม่เป็น ) จุดศูนย์กลาง

มวลของครึ่งทรงรีนี้ จะอยู่ห่างจากรอยที่ตัด เท่าไหร่???? ( สมมุติให้ทรงรีนี้มีมวลกระจายอย่างสม่ำเสมอตลอด

ทั้งอัน )

[nongtum]

มีคำถามและคำแนะนำดังนี้ครับ

1. ความยาวเตสเรกตัมคืออะไรครับ และจะให้แกนเอกและโทอยู่ในระนาบใด(สมมติว่าจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และแกนเอกและโทอยู่บนแกนพิกัด)
2. 'จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงรีนี้ จะอยู่ห่างจากรอยที่ตัด' หมายถึงจุดศูนย์กลางมวลใหม่อยู่ห่างจากระนาบที่เกิดจากรอยตัดใช่ไหมครับ
3. หากจะแปะรูป หากไม่ใหญ่เกิน 50000 ไบต์ ก็สามารถแปะได้ที่'รูปภาพประกอบ'ด้านล่างพื้นที่พิมพ์รายละเอียดครับ(คล้ายๆการแปะรูปไปกับอีเมล์) หรือไม่หากรูปใหญ่กว่านี้ ก็ใช้'รูปภาพประกอบ (Unlimit)'ด้านล่างได้ครับ ลองค่อยๆแปะครับ หากไม่ได้เราก็ยังแก้ไขได้อยู่นะครับ

[Donovan]

ขอโทษทีครับ ผมคิดโจทย์ผิดอีกแล้ว ประจำเลยคับ หุ หุ ( ดูจากโจทย์ก็จะรู้ว่าผิดคับ )

เอาเป็นว่ายังงี้ละกันนะครับ

ทรงรีสามมิติอันหนึ่งเป็นแบบตัน มีปริมาตร 80 p ลูกบาศก์หน่วย เมื่อทำการตัดครึ่งทรงรีนี้ตามแนว

แกนเอก ( ให้แกนเอกอยู่ในแนวแกน x และแกนโทอยู่ในแนวแกน y จุดศูนย์กลางมวลของทรงรีนี้จะอยู่ที่จุดกำเนิด ) โดยที่

การตัดครั้งนี้จะผ่านจุดกำเนิดด้วย พื้นที่หน้าตัดที่เกิดจากการตัดคือ 20 ตารางหน่วย

คำถาม จงหาว่า จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงรีนี้ อยู่ห่างจากแนวที่ตัดเท่าไร ?????

อิ อิ อิ คราวนี้โจทย์ถูกชัวร์คับ


ปล. ความยาวเลตัสเรกตัมคือ ความยาวส่วนของเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดโฟกัสคับ !!!!!

[Donovan]

แนะนำให้ใช้ สูตรปริมาตรของการหมุนของ pappus ครับ !!!!!

[M@gpie]

เพิ่มเติมครับ ทรงรีสามมิติ เรียกว่า Ellipsoid นะคับ อิอิ

ปล. สงสัยเพราะเอามาซอย แล้วได้วงรี เกี่ยวมั้ย ??

[Math man]

สูตรการหมุนของ pappus คุ้นๆนะคับ ผมว่าผมเคยเจอในวิชา statics ตอนเรียนวิดวะ ปี 1 นะ
ขอลุยเลยละกัน
จากสูตรการหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุนของ pappus ( ขอโทษด้วยฮะ ผมก็เอารูปมาลงไม่เป็น )

V/2 = ( p )( y )( A/2 )

V คือ ปริมาตรของทรงรีสามมิตินี้ , y คือระยะ centroid ของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของวงรีที่ถูกตัดออกที่แกนเอก และ A คือพื้นที่หน้าตัดของทรงรีที่ถูกตัดออก

จากโจทย์ A = 20 ตารางหน่วย , V = 80p ลูกบาศก็หน่วย

\ จะได้ระยะ centroid y = 4 หน่วย

ผมเอารูปลงไม่เป็น ช่วยนึกภาพตามหน่อยนะฮะ

มาถึงตรงนี้จะเห็นว่าถ้ามองทรงรีที่ถูกตัดจากด้านข้างจะเห็นจุด centroid ที่เรียงตัวเป็นรูปครึ่งวงกลม
ที่มีรัศมี = 4 หน่วย นึกภาพออกใช่ป่ะคับ

ทำการหาระยะจากจุด centroid ถึงระนาบที่ทำการตัด ตามที่โจทย์ต้องการถาม


๒ k ds = ๒ k ึ( 1 + ( dk/dr )^{ 2 }) dr = ( k เฉลี่ย )( 4p )

กำหนดให้ k^{ 2 } + r^{ 2 } = 4^{ 2 } = 16

ค่าที่เราต้องการคือค่า k เฉลี่ย


\ ( ขอข้ามขั้นตอนการแก้สมการไปเลยนะคับ )

\ k เฉลี่ย = 8/p หน่วย


ข้อนี้ตอบ 8/p หน่วยครับ!!!!!

[Donovan]

เยี่ยมครับ!!! คำตอบถูกต้อง แต่วิธีทำรวบรัดไปหน่อย