Triangle Combinatorics

[paoboy]

$x+y+z=n;x+y>z,y+z>x,z+x>y$หาจำนวนวิธีในรูป$n$

[Mathophile]

โจทย์ให้หา $(x,y,z)$ หรอครับ
และ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มด้วยหรือเปล่าครับ

ถ้าใช่ ก็คงทำประมาณนี้น่ะครับ...
จาก $x+y>z$ และ $y+z>x$ บวกอสมการเข้าด้วยกัน จะได้ $y>0$
พิจารณาในทำนองเดียวกัน จะได้ $x,z>0$
จำนวน $(x,y,z)$ ตามเงื่อนไขโจทย์ จึงสามารถพิจารณาได้เป็นการแบ่งของเหมือนกัน $n$ สิ่งให้คนสามคน โดยแต่ละคนต้องได้ของอย่างน้อย 1 ชิ้น
ซึ่งจำนวนวิธีดังกล่าว $\displaystyle{=\binom{(n-3)+2}{2}=\binom{n-1}{2}}$
Edit : ข้างบนเป็นวิธีที่ผิดครับ

ปล. $(x,y)$ เรียกว่าคู่อันดับ แล้ว $(x,y,z)$ นี่เขาเรียกว่าอะไรกันครับ???

[owlpenguin]

ไม่รู้ชื่อภาษาไทยเหมือนกันครับ
รู้แต่ว่า ฝรั่งเขาเรียกว่า (ordered) triplet ครับ

[zead]

คุณ Mathopile เข้าใจอะไรผิดหรือเปล่าคับ
ถ้าหาแบบนั้นก็เท่ากับว่าด้านของสามเหลี่ยมจะยาวเท่าใดก็ได้หน่ะสิครับ ;p

[paoboy]

ใช่ครับจำนวนเต็มบวกครับ แต่สมมติให้$n$เป็น6แล้ว$x=1,y=2,z=3$ซึ่ง$x>0,y>0,z>0$แต่$x+y=z$
ปล.คอมเสียครับ

[Mathophile]

จริงด้วยครับ ผิดเต็มๆ เลย โทดทีครับ

[owlpenguin]

เท่าที่สังเกตนะครับ
ให้ $p(n)$ เป็นจำนวนวิธีของ ordered triplet $(x,y,z)$ จากการสังเกตพบว่า
$\pmatrix{n=&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\ p(n)=&1&0&3&1&6&3&10&6&15&10}$
ถ้าสังเกตอีกสามารถตั้งสมมติฐานว่า $p(n)=\cases{T_{\frac{n-4}{2}} & , 2|n \cr T_{\frac{n-1}{2}} & , 2\not|n} $ เมื่อ $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$
แต่ผมยัง prove ไม่ได้ครับ ก็ช่วย prove หรือ disprove สมมติฐานของผมที

ทำไมวงเล็บผมมันถึงมีตัวคำถามอ่ะครับ

[nooonuii]

มีคนคิดสูตรออกมาแล้วครับ รุ่นพี่ผมก็เคยทำ senior project เพื่อหาสูตรพวกนี้ รู้สึกว่าจะบอกจำนวนสามเหลี่ยมประเภทอื่นได้ด้วย

Integer Triangle

[paoboy]

เนื่องจากx,y,zจะไม่มากกว่าเท่ากับ$n/2$เมื่อ$n$เป็นจำนวนคู่และจากx,y,zไม่มากกว่าเท่ากับ$(n+1)/2$เมื่อ$n$เป็นจำนวนคี่ หาโดยหาจำนวนx,y,zที่เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่บวกกันได้nโดยไม่มีเงื่อนไขใดๆ-จำนวนx,y,zที่xหรือyหรือzมากกว่าเท่ากับ$n/2$หรือ$(n+1)/2$ ได้รึเปล่าครับ