Inequality Warm up or not ??

[จูกัดเหลียง]

คล้ายๆ Warm up alittle bit ครับเเต่เป็นเเนว IE
$a,b,c>0$ Prove $$\sum_{cyc} \Big(\frac{a+2b}{a+2c}\Big)^3\ge 3$$

ถ้ามีคนสนใจมากผมก็อยากลงโจทย์อีกนะครับ

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

คล้ายๆ Warm up alittle bit ครับเเต่เป็นเเนว IE
$a,b,c>0$ Prove $$\sum_{cyc} \Big(\frac{a+2b}{a+2c}\Big)^3\ge 3$$

ถ้ามีคนสนใจมากผมก็อยากลงโจทย์อีกนะครับ

cyc คืออะไรหรอครับ

[~ArT_Ty~]

ใช้ โคชี Engel form ครับ ข้อนี้

Hint : $$\frac {a+2b}{a+2c}=\frac{a}{a+2c}+2(\frac{b}{a+2c})$$

[Euler-Fermat]

ใช้ Power Mean IE กับ Cauchy Engel ก็ได้นะครับ

[Keehlzver]

มาเติมโจทย์ให้ครับ (ห้ามถึกนะครับ )

1. $a,b,c > 0$ และ $a+b+c=abc$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{3}{2}$$

2.$x,y,z$ เป็นจำนวนจริง จงพิสูจน์ว่า
$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq max\left\{\,{\frac{3(x-y)^2}{4},\frac{3(y-z)^2}{4},\frac{3(z-x)^2}{4}}\right\}$$

3.$a,b,c > 0$ และ $a^2+b^2+c^2=1$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}+2 \geq 3(ab+bc+ca)$$

4.$a,b,c,d > 0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \geq \frac{16abcd}{(1+\sqrt[4]{abcd})^4}$$

5. $x,y,z \in (0,1)$ สอดคล้องกับ $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$
จงหาค่าสูงสุดของ $xyz$

6.$a,b,c > 0$ และ $a+b+c=1$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

มาเติมโจทย์ให้ครับ (ห้ามถึกนะครับ )

1. $a,b,c > 0$ และ $a+b+c=abc$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{3}{2}$$

3.$a,b,c > 0$ และ $a^2+b^2+c^2=1$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}+2 \geq 3(ab+bc+ca)$$

1.เปลี่ยตัวเเปรครับ ให้ $x=1/a,y=1/b,z=1/c$ เลยได้ว่า $xy+yz+zx=1$
เเละจะเเสดงว่า $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+1}}\le \dfrac{3}{2}$
เเละพิจารณาได้ว่า $x+y+z\ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3},xyz\le \sqrt{(xy+yz+zx)^3/27}=1/3\sqrt{3}$
0าก $$2\sum_{cyc}x\sqrt{y+z}\le 2\sqrt{2(x+y+z)}\le3\sqrt{x+y+z-xyz}=3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$ เเละอสมการสุดท้ายจริงจาก $x+y+z\ge\sqrt{3}=9/3\sqrt{3}\ge 9xyz$
ดังนั้น $$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+1}}=\sum_{cyc}\frac{x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\le \frac{3}{2}$$

3.จากที่$\dfrac{a^5+b^5}{ab(a+b)}=\Big(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{a}+ab\Big)-(a^2+b^2)\ge 3ab-(a^2+b^2)$ ดังนั้น $$\sum_{cyc} \frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+2\ge 3(ab+bc+ca)-2(a^2+b^2+c^2)+2=3(ab+bc+ca)$$

[Pain 7th]

2. WLOG $x \geq y \geq z$ ดังนั้นเหลือสิ่งที่เราจะพิสูจน์คือ

$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq \dfrac{3}{4}(z-x)^2$

เปลี่ยน $a=x-y , b=y-z , a+b=-z+x$ นำไปแทนสมมูลกับ

$(a-b)^2 \geq 0$

[Pain 7th]

ขอ hint ข้อ 5 หน่อยได้ไหมอ่ะครับ

[nooonuii]

5. $2\sqrt{xyz}=?$

[Pain 7th]

$4xyz = (\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2})^2 \leq 3(3-x^2-y^2-z^2)$

แล้วยังไงต่ออ่ะครับ

[nooonuii]

ยังไม่ได้แฮะผมมองโจทย์ง่ายเกินไป

[Keehlzver]

ข้อ 1, 5, 6 ใช้แทนค่าตรีโกณครับ

1. $a=tan(A),...$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $1+tan^2(A)=sec^2(A)$
----------------------------------------------------------------------------------------
5. $x=sin^2(A),...$ จากเงื่อนไขของโจทย์จะบังคับว่า $A,B,C$ เป็นมุมในสามเหลี่ยม
โจทย์จึงเหมือนกับการหาค่าสูงสุดของ $sin(A)sin(B)sin(C)$ ภายใต้เงื่อนไข $A+B+C=\frac{\pi}{2}$
----------------------------------------------------------------------------------------
6. เปลี่ยนตัวแปร $x=\sqrt{\frac{bc}{a}},...$ จะได้ $xy+yz+zx=1$
หลังจากนี้ให้ $x=tan\frac{A}{2},...$ โดยที่ $A,B,C \in (0,\pi)$
ใช้เอกลักษณ์
$1+tan^2(A)=sec^2(A)$
$cos^2(A)=\frac{1+cos(2A)}{2}$
$cos(A)sin(A)=\frac{1}{2}sin(2A)$
$cos(A)+cos(B)=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\leq 2cos(\frac{\pi-C}{2})cos(\frac{\pi}{2})$
อสมการจะลดรูปง่ายขึ้นมาก สุดท้ายจะเหลืออสมการในตัวแปร $C$ จบด้วยแคลคูลัส
---------------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 4 นี่ต้องสร้าง Lemma มาก่อนครับ
$\frac{a+b}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{(1+\sqrt{ab})^2}$
ใช้ Lemma กับ Cauchy ปิดท้ายครับ