topology

[chaitung]

f: (X,d)ฎ(Y,d) , x₀ฮX f ต่อเนื่องที่ x₀ซ"e>0$d>0 s.t. "xฮX, d(x,x₀)<d ฎ d'(f(x),f(x₀))<e
จงพิสูจน์ว่า f ต่อเนื่องที่ x₀ ซ "e>0 , $d>0 st.
f (Bd(x₀,d))อ Bd(f(x₀),e)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ chaitung:
$ f : (X,d)\to (Y,d) , x_0\in X$ $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0 \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\, \exists\delta>0$ s.t. $\forall x\in X, d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(x_0))<\epsilon$
จงพิสูจน์ว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0 \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 , \exists\delta > 0$ st.
$f (B_d (x_0,\delta))\subseteq B_{d'}(f(x_0),\epsilon)$

$(\Rightarrow)$ Clear from definition of a ball of radius $r$.
$(\Leftarrow)$ Let $\epsilon > 0$. Choose $\delta$ such that $f (B_d (x_0,\delta))\subseteq B_{d'}(f(x_0),\epsilon)$. Let $x$ be such that $d(x,x_0)<\delta$. Then $x\in B_d(x_0,\delta)$ and $f(x)\in f(B_d(x_0,\delta)\subseteq B_{d'}(f(x_0),\epsilon)$. Thus $f(x)\in B_{d'}(f(x_0),\epsilon)$, i.e. $d'(f(x),f(x_0))<\epsilon.$

โจทย์ไม่ยากครับอยู่ที่การตีความประโยคทางตรรกศาสตร์และทำความเข้าใจกับนิยามใหม่ๆมากกว่า ทำโจทย์เยอะๆครับจะได้ชำนาญ จริงๆแล้วไม่อยากเฉลยโจทย์ลักษณะนี้เลยครับ อยากให้คิดเองมากกว่า