ถามเรื่อง limit หน่อยครับ

[[Cb : TkZ]]

สมมติ f(x)=x+1 โดยที่ domain ของ f คือ [1,10] อ่าคับ
เราสามารถหา limit f(x) เมื่อ x เข้าสู่ 1 ได้รึป่าวครับ

เห็นหนังสือ แคล 1 ของจุฬา บอกว่า หาได้โดยถือว่าเท่ากับลิมิตทางขวาไปเลย
แต่ text thomas calculus บอกว่าหาไม่ได้ เนื่องจากไม่มีลิมิตทางซ้าย

ตกลงมันยังไงแน่อ่าคับ
คัยรู้ที่ถูกต้องช่วยบอกด้วยครับ

[Rovers]

ก็ให้ถือว่าลิมิตเท่ากับลิมิตทางขวาไปเลย
เราไม่พิจารณาลิมิตทางซ้าย เพราะมันไม่มีโดเมน
ถ้าไม่ถือให้มันเท่ากัน ก็จะเป็นอุปสรรคต่อการพิสูจน์ทฤษฎีที่สูงขึ้นไปด้วย

[M@gpie]

ต้องถามก่อนว่าเอานิยามลิมิตแบบไหนครับ ในระดับเริ่มต้น เราจะรู้จักนิยามลิมิตแบบ ลิมิตซ้าย = ลิมิตขวา เท่านั้น ดังนั้นในหนังสือ thomas จึงยึดตามนิยามนี้ บอกว่าหาค่าไม่ได้ แต่เมื่อเราเรียนระดับสูงขึ้นในวิชา Analysis จะพบว่าเรานิยามแบบ $\delta-\epsilon$ แล้ว จะแสดงได้ว่า สามารถมีลิมิตได้ที่จุดปลายซึ่งจะเท่ากับลิมิตทางขวา ดังนั้นหนังสือแคลของจุฬาจึงให้คำอธิบายเช่นนั้นครับผม

ถ้าอ.ที่ไม่เผลอเรอ ข้อสอบจะไม่ออกจุดนี้ครับมิต้องห่วง

[Pocket]

แล้วถ้ามันอยู่ในช่วง (1,10] ล่ะครับ จะถือว่ามีลิมิตหรือเปล่าครับ

[ลูกชิ้น]

ตามนิยาม limit หาได้ครับ

นิยาม limit มีอยู่ว่า

$$lim_{x\rightarrow a}F(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \ni \forall x\in D_F , 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow | F(x) - L | < \epsilon $$

ซึ่งสามารถเข้าใจได้ยาก (ผมอ่านครั้งแรกก็ไม่เข้าใจ)

แต่ได้มีผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทมาว่า

$$lim_{x\rightarrow a} f(x) หาค่าได้ \Leftrightarrow lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = lim_{x\rightarrow a^+} f(x)$$

ซึ่งมันดูจะเข้าใจง่ายกว่านิยาม แต่ทฤษฎีบทนี้ก็มีเงื่อนไขอยู่ครับคือ ทฤษฎีบทนี้จะมีความหมายเมื่อลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวามีค่า นั่นคือ ทฤษฎีบทนี้พูดถึงเฉพาะกรณีที่มีลิมิตทางซ้ายและทางขวาครับ

ดังนั้นถ้าถามว่า $lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{x} $ มีค่าเท่าไร ก็คงตอบได้แล้วนะครับ