สสวท.คณิตศาสตร์ 2550

[pierewebo]

ข้อ 18 จากการที่ผมไปถามเพื่อนผมมามันทำงี้ครับ ยากกว่าที่คิดไว้มากอะ
คือตามโจทย์ จะได้ว่า 0 <= x <= 2
เราสมมติให้ x = 2cos8a แล้วเราก็ไปแทนในโจทย์ จากสูตรตรีโกณอะ cos2a=2cosa2-1
เมือ่แทนลงไป ก็ได้เสร็จสับว่า 2cosa+2รูท3sina = 4cos8a
[1/2]cosa+[รูท3/2]= cos 8a
แล้วก็โลดครับ ได้ cosasin30+sinacos30=cos8a
sin [30+a]=cos 8a
ถึงตรงนี้ ผมยังไม่ได้คิดเลขออกมา แต่ก็ไม่น่ายากแล้วอะครับ
ลองหาค่าดูละกัน

[หยินหยาง]

ข้อ 18 ให้ไปดูความเห็นที่ 39 ของคุณ passer by หน้า 3

[nooonuii]

ข้อ 18 ตอนที่ 2 คุณ passer-by นำเฉลยมาให้ดูแล้วนี่ครับ ใช้เทคนิคการแทนค่าตัวแปรด้วยตรีโกณมิติ เป็นวิธีคิดที่แปลกและก็สวยดีครับ

[gon]

ข้อ 22. $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=1$

ข้อนี้น่าจะ้นำมาจาก JBMO 1997(Junior Balkan) ครับ
(ส่วนคำตอบที่มีแปะนั้นไม่รู้ถูกหรือไม่นะครับ เพราะผมยังไม่ได้ลองคิดและตรวจสอบเหมือนกัน)

ข้อ 15.
\[f(x+y)=f(\sin \frac{x\pi}{2}) + f(sin \frac{y\pi}{2}) , f(xy) = xf(y) + yf(x) \]หา $f(f(f(5+\sqrt{5})))$

อีกแล้วสำหรับสมการเชิงฟังก์ชัน ที่ข้อสอบปีนี้นับว่าล้ำหน้าถึงขั้นเ่ล่นระบบสมการเชิงฟังก์ชัน 2 สมการ มีใครลองคิดแล้วหรือยังครับ. ผมอยากเห็นสูตรที่เป็นรูปปิดสักสูตรหนึ่งดู เพราะุ้่ถ้าเป็นสมการเดี๋ยวๆแยกแต่ละอันดูแล้วยังพอไหว แต่ถ้าทั้งคู่เลยก็คง

เท่าที่ลองคิดดูข้อนี้ผมได้ 0 ครับ. (โดยมีสมมติฐานอยู่ว่ามีคำตอบอยู่จริง )

[passer-by]

Sorry that now I can't access Thai keyboard so I have to reply in English instead.

PART II

8. If I think right, I got 12. The following hints might help solving this question :

(i) $x^4+x^3-x^2-1= (x-1)(x^3+2x^2+x+1) $
(ii) If $ a= 1 $ , we can reduce the degree of p(x) to compute ,say, p(b) by substituting another equation cleverly. Finally we obtain $ p(b)= b^2-2b^3-b $ . For p(c) and p(d), can be computed similarly.
(iii) The remaining is not difficult by using properties of roots of cubic polynomial. And we've got the solution.

Note: I guess that it might have shorter method. But now I can't figure out.

15. I got 0 as Khun pierewebo and P' Gon.

We can derive some equations (see below) to help evaluating $ f(5+\sqrt 5) $.

(1) f(n)= 0 for every nonnegative integer n
(2) $f(x^2)=2xf(x) $
(3) $ f(x)= f(sin \frac{x \pi}{2} ) $

Moreover ,using (1)and second hypothesis ,we can imply that f(q) = 0 for positive rational q . Name it equation (4)

Now $ f(5+\sqrt 5) = f(8 \sin^2 (\frac{2\pi}{5})) = 8 f(\sin^2 (\frac{2\pi}{5})) =16\sin (\frac{2\pi}{5})f(\sin (\frac{2\pi}{5})) $

But $f(\sin (\frac{2\pi}{5}))= f(\frac{4}{5}) =0 $(using (3) and (4))

16. I'll show trigonometrical solving version. I GUESS that it can be solved by plane geometry but it probably relies on advance theorems (e.g. Ceva's theorem ). However, I might guess wrong !

Let $ D\hat{A}F = \theta $

Using the fact $ \frac{FA}{FB} \frac{FB}{FC} \frac{FC}{FA} =1 $

With law of sine, we can write
$ \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin \theta} \frac{\sin 70^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} \frac{\sin (40^{\circ}- \theta)}{\sin 10 ^{\circ}} =1 \rightarrow \frac{\sin (40^{\circ}- \theta)}{\sin \theta} =2\sin 10^{\circ}$

Solving this, then we have $\theta = 30^{\circ}$

20.
Let $ 4\theta = \hat{A}$

We express $ \frac{AB}{AC}$ in 2 ways

Firstly, we use law of sine and then we have $ \frac{AB}{AC}= \frac{\sin (90 -3 \theta)}{\sin(90- \theta)}=\frac{\cos3 \theta}{\cos\theta} $

Secondly, we use median as criteria and compare area ratio of two triangles with common side AF. Hence ,we have $ \frac{AB}{AC}= \frac{\sin \theta}{\sin 3\theta} $

Solving for $\theta$ , we have got $ 4\theta = 4(\frac{\pi}{8})=\frac{\pi}{2} $

[jabza]

To. พี่passer-by
ช่วยอธิบายข้อ8ตอน2หน่อยครับ ตรงบรรทัดที่Finally we obtain p(b)=$b^2 - 2b^3 - b$ . For p(c) and p(d), can be computed similarly.
(iii) The remaining is not difficult by using properties of roots of cubic polynomial. And we've got the solution.

ผมไม่เข้าใจว่าตรง p(b)=$b^2 - 2b^3 - b$ มันมาได้อย่างไร พี่ช่วยอธิบายทีครับ ให้อธิบายจนถึง ค่าของ p(a) + p(b) + p(c) + p(d) = 12 ผมได้เฉพาะ p(a) = -2 อย่างเดียวอะครับ ช่วยหาตัวอื่นๆด้วย

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

To. พี่passer-by
ช่วยอธิบายข้อ8ตอน2หน่อยครับ ตรงบรรทัดที่Finally we obtain p(b)=$b^2 - 2b^3 - b$ . For p(c) and p(d), can be computed similarly.
(iii) The remaining is not difficult by using properties of roots of cubic polynomial. And we've got the solution.

ผมไม่เข้าใจว่าตรง p(b)=$b^2 - 2b^3 - b$ มันมาได้อย่างไร พี่ช่วยอธิบายทีครับ ให้อธิบายจนถึง ค่าของ p(a) + p(b) + p(c) + p(d) = 12 ผมได้เฉพาะ p(a) = -2 อย่างเดียวอะครับ ช่วยหาตัวอื่นๆด้วย

ผมขอตอบแทนคุณ passer-by ล่ะกัน จะได้ทันใจวัยรุ่น อาจจะไม่ตรงกันเป๊ะแต่ก็คงแนวๆนี้

\[P(x) = x^6 - x^4 - x^2 - 1 \cdots (*)\]

แต่ $x^4 - x^2 - 1 = -x^3$ ดังนั้น $x^6 - x^4 - x^2 = -x^5$ แทนใน (*) จะได้ $P(x) = -x^5 - 1$

$-x^5 - 1 = -x^4(x) - 1 = (x^3 - x^2 - 1)x - 1$
$= x^4 - x^3 - x - 1 = (-x^3 + x^2 + 1) - x^3 - x - 1 = -2x^3 + x^2 - x$

Jabza ถ้าไม่รู้จัก Viete's Formulae ลองดูหน้านี้ สรุปจำนวนเชิงซ้อน หัวข้อ 14.19 - 14.20 และ ดูใน MY MATHS ฉบับล่าสุด 30 ประกอบ

[RedfoX]

พี่กรครับดูไม่ออกว่าข้อนี้มันใช้ วีท ฟอร์มูลาไงอะครับ งง

[RedfoX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตอนที่ 1 ข้อ 4 เห็นมาหลายรอบแล้วครับ เปลี่ยนแค่ตัวเลขนิดหน่อย

โดยขั้นตอนวิธีการหาร

ให้ $g(x^{12})=q(x)g(x)+r(x)$ เมื่อ deg$r(x)\leq 4$

$g(x)$ มีรากที่ต่างกัน $5$ ราก คือ $\omega,\omega^2,...,\omega^5$

เมื่อ $\omega$ เป็นรากที่หกของ $1$ แต่ไม่ใช่ $1$

แทนรากทั้งหมดลงไปในสมการข้างต้นจะได้

$r(\omega^k)=g(1)=6$ ทุกค่า $k=1,2,...,5$

ดังนั้น $r(x)-6$ เป็นพหุนามกำลังไม่เกินสี่ที่มีรากที่ต่างกันถึงห้าตัว

โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต $r(x)-6$ ต้องเป็นพหุนามศูนย์

เพราะฉะนั้น $r(x)=6$ นั่นคือ $g(x^{12})$ หาร $g(x)$ เหลือเศษ $6$

ถ้าจะใช้วิธี ตั้งหารยาวเลยได้ไหมครับ (ผมไม่รู้วิธีนี้อะครับ)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

พี่กรครับดูไม่ออกว่าข้อนี้มันใช้ วีท ฟอร์มูลาไงอะครับ งง

จาก $P(x) = -2x^3 + x^2 - x$ ดังนั้น $P(a) + P(b) + P(c) + P(d) =-2S_3 + S_2 - S_1$ เมื่อ $S_n = a^n + b^n + c^n + d^n$

$S_{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{abc + abd + acd + bcd}{abcd} = \frac{0}{-1} = 0$ (Veite)

$S_0 = a^0 + b^0 + c^0 + d^0 = 4$

$S_1 = a + b + c + d = -1$ (Viete)

$S_2 = (a+b+c+d)^2-2(ab+...+cd) = (-1)^2 - 2(-1) = 3$ (Viete)

จากสมการ $x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0$ นำ $x^{n-4}$ คูณตลอด จากนั้นแทนด้วย a, b, c, d แล้วนำสมการมาบวกกันจะได้ $S_n = -S_{n-1} + S_{n-2} + S_{n-4}$

ดังนั้น $S_3 = -S_2 + S_1 + S_{-1} = -4$

นั่นคือ $P(a) + P(b) + P(c) + P(d) =-2S_3 + S_2 - S_1 = 12$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

ถ้าจะใช้วิธี ตั้งหารยาวเลยได้ไหมครับ (ผมไม่รู้วิธีนี้อะครับ)

ตั้งหารยาวได้ครับ แต่แน่ใจว่าทำได้จนจบด้วย มือ !!! + กระดาษ

ลองดูวิธีนี้แล้วกัน อาจจะชอบ

จาก $g(x) = x^5 + x^4 + ... + 1 = \frac{x^6 - 1}{x - 1} \Rightarrow (x-1)g(x) = x^6 - 1$ แสดงว่า $g(x) | x^6 - 1$

แต่ $g(x^{12}) = x^{60} + x^{48} + x^{36} + x^{24} + x^{12} + 1$
$=[(x^6)^{10} - 1^{10}] + [(x^6)^{8} - 1^{8}] + [(x^6)^{6} - 1^{6}] + [(x^6)^{4} - 1^{4}] + [(x^6)^{2} - 1^{2}] + 6$

เนื่องจาก $a^n - b^n$ จะมี a-b เป็นตัวประกอบทุกจำนวนเต็มบวก n (โดยทฤษฎีเศษเหลือ)

ดังนั้นทุกวงเล็บของ $g(x^{12})$ จะมี $x^6 - 1$ เป็นตัวประกอบ

แต่ $g(x) | x^6 - 1$ ดังนั้น จะหารทุกวงเล็บของ $g(x^{12})$ ลงตัว ยกเว้น 6 นั่นคือ $g(x^{12})$ จะหารด้วย g(x) เหลือเศษ 6

[jabza]

thank you. I see. Veit formular.

[apikun]

1. -23
2. cos2x
3 sqrt(3)/2
4. 6
5. 128
6. 13sqrt(3)
7. 8
8. don't know
9. 39
10. 1

part 2
1. ไม่ยากมาก ลองคิดไปเรือ่ย แล้วจะออกเอง
2. 2
3. 627
4. 146
5 10
6.
7. 14
8.
9. 555
10.
11. 2^2^n
12. 9/4
13. 12
14. 60/13
15.
16.
17.
18.
19. 8
20. 90
21. 5sqrt(2)/2
22. 41/20
23. 10/sqt(3)
24. 2sqrt(14)
25. 200

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

ข้อ4 ตอนที่2 ตอบ146งับ โดยที่x = 11 y = 5ง่ะครับ ป๋มก็ไปสอบนะงิ แต่ไม่ติดแน่เรยง่ะ กลัวพี่ม.6นะงุงิ

[Art_ninja]

ข้อ 20 (Non - trigonometry version)
ลาก $GF \bot BC$ โดยที่จุด $G$ อยู่บน $AC$ และลาก $BG$
จะได้ว่า
$G \hat CF=90^\circ - 3\theta^\circ$ แสดงว่า $F \hat GC=3\theta^\circ$
เนื่องจาก$B \hat FG =C\hat FG=90^ \circ ,BF=CF,GF=GF$
$\therefore \triangle BFG \cong \triangle CFG$
ทำให้ได้ว่า
$F \hat GB=F \hat GC=3\theta^\circ$
และจาก
$G \hat BF=G \hat CF=90^\circ - 3\theta^\circ$
จะได้ว่า
$A \hat BG=A \hat BD - G \hat BF= 2\theta^\circ$
$A \hat FG=F \hat GC - A \hat FC= 2\theta^\circ$
$\therefore ABFC $ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้
$\therefore 4\theta =90^\circ$