Calculus Marathon

[alongkorn]

สุดยอดมาก ๆ สำหรับคุณ Warut และคุณ passer-by โดยเฉพาะข้อมูล แน่นจริง ๆ !!!

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:


$ \displaystyle{= \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) \,d\theta } $
$ \displaystyle{= \int_0^{\pi/4} \ln(\frac{2}{1+\tan\theta}) \,d\theta} $

ไปได้อย่างไรครับ

ผมตามไม่ทันครับ

[passer-by]

สำหรับ คำถามของน้อง Mastermander

$ 1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = 1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta} = \frac{2}{1+\tan\theta}$

[Mastermander]

ขอบคุณครับ

15.

[Punk]

ข้อ 15 ตอบ 1/2 โดย change of variable technique จะได้ $\int_Q\cos^2(\cdots)dx=\int_Q\sin^2(\cdots)\;dx\quad$ ($Q=[0,1]\times\cdots\times[0,1]$)

ต่อเลยนะครับ

16. เป็นที่ทราบโดยทั่วไปว่า $\int_0^\infty e^{-x^2}\;dx=\sqrt{\pi}/2\quad$ จงหา
\[
\int_0^\infty e^{-x^2}x^{n-1}\;dx
\]
เมื่อ $n\geq2$ เป็นจำนวนนับใดๆ
(Hint: $n$-dimensional Calculus)

[M@gpie]

เอ่อ ไม่แน่ใจครับว่าถูกป่าว รอคุณ Punk มายืนยันความถูกต้อง
16. เนื่องจาก
\[ \text{จาก Gamma Function} \; \; \;\Gamma ( y ) = \int_0^{\infty} t^{ \; y-1} e^{-t} dt \]
\[ \text{เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ } \; \; \; t=x^2 \rightarrow dt = 2xdx \]
\[ \text{จะได้ว่า } \; \; \; \Gamma ( y ) = 2 \int_0^{\infty} x^{ \; 2y-1} e^{-x^2} dx \]
\[ Let \; \; y=\frac{n}{2} \; \; \; \; \text{จะได้ว่า} \; \; \; \frac{1}{2}\Gamma ( \frac{n}{2} ) = \int_0^{\infty} x^{ \; n-1} e^{-x^2} dx \]
สรุป
\[ \int_0^{\infty} x^{ \; n-1} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\Gamma ( \frac{n}{2} )\]
โดยที่ \( \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \; \; \) และ \( \; \; \Gamma (x+1) = x \Gamma (x)\)

ต่อด้วย 17.จากข้อที่แล้ว จงแสดงว่า \[ \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

[Punk]

คำตอบของน้อง M@gpie ถูกแล้วครับ แต่ที่ผมคิดคืออีกแบบครับ ผมใช้เรื่อง generalized spherical coordinates

ทวนนะครับ ใน $\mathbb{R}^3$ เรามี spherical coordinates
\[
(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)\qquad r\geq0,\;0\leq\theta\leq2\pi,\;0\leq\phi\leq\pi
\]
ทำนองเดียวกันใน $\mathbb{R}^n$ เราก็จะมี
\[
(x_1,\ldots,x_n)\to(r,\Psi),\quad\Psi=(\theta,\phi_1,\ldots,\phi_{n-2})
\]
ส่วนอินทิเกรตจะมี differential
\[
dV=dx_1\cdots dx_n\to r^{n-1}dr\;d\Psi
\]
เช่น เมื่อ $n=3$ เรามี $d\Psi=\sin\phi\;d\theta\;d\phi$ (กรณี $n\geq4$ รูปแบบจะยุ่งยากกว่านี้)

ที่นี้เรื่องของเรื่องคือ
\[
\int_{S^{n-1}}d\Psi=\alpha_n=\text{พื้นที่ของ sphere รัสมี 1 หน่วยใน $\mathbb{R}^n$}
\]
ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นค่าคงที่ คำนวณได้โดยอาศัย Gamma function$\quad$ ดังนั้นปัญหาของเราจะกลายเป็น
\[
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}dr&=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|x|^2}dV(x)\\
&=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{-\infty}^\infty e^{-x_1^2}dx_1\cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-x_n^2}dx_n\\
&=&\frac{1}{\alpha_n}(\sqrt{\pi})^n
\end{eqnarray}
\]
ปล. วิธีแปลงเป็น spherical coordinates มีประโยชน์มากเวลาคำนวณ heat kernel $k(x,y,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x-y|^2/4t}$ บน $\mathbb{R}^n$

[Punk]

17. ให้คำตอบคือ $A$
\[
\begin{eqnarray}
(2A)^2&=&\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx\cdot\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\;dy\\
&=&\int_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
&=&\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}rdr\;d\theta=\pi(-e^{-r^2})\big|_0^\infty=\pi
\end{eqnarray}
\]

[M@gpie]

โอ้โห !! วิธีคิดของคุณ Punk นี่ Advance จริงๆครับ เหอๆๆ เกินความรู้ระดับผมไปแล้วอิอิ
แต่เห็นบอกว่าแก้ Heat Equation ด้วย นี่เกี่ยวกับพวก Green's Function ด้วยรึเปล่าครับ

[Punk]

ถูกแล้วครับน้อง M@gpie เกี่ยวข้องอย่างมากครับ คือทั้งสอง (Green function และ Heat kernel) ช่วยในการคำนวณผลเฉลยของ PDE
ต่างกันเล็กน้อยตรงที่ Heat kernel ใช้หาผลเฉลย Heat equation (Parabolic PDE) ส่วน Green function ใช้กับ Laplace/Poisson equation (Elliptic PDE)

18. (Putnam ???) จงหาค่า
\[
\int_2^4\frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx
\]

[M@gpie]

ครับ ผมกำลังจะศึกษาเรื่อง
An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory by Ruth F. Curtain, Hans Zwart
เกี่ยวกับแก้ PDE นี่แหละครับ แล้วนำมาประยุกต์กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ และ การสร้างควบคุม
ใช้คณิตศาสตร์ทาง Functional Analysis ถ้ายังไงมีข้อสงสัยอาจจะต้องรบกวนคุณ Punk ด้วยนะครับ จะ PM ไปหา อิอิ
ถ้ามีข้อแนะนำ ยังไงก็บอกได้เลยนะครับ PM มาหาผมก็ได้ จะได้ไม่รบกวน กระทู้ ขอบคุณคร้าบ

[Punk]

ยินดีครับคุณ M@gpie

อีกสักข้อละกันครับ (ผมไม่ค่อยชอบข้อนี้เลยครับ)

19. ถ้า $f: (0,\infty)\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องถึงอันดับสอง และ
\[
|f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)|\leq1
\]
จงพิสูจน์ว่า $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

[M@gpie]

แหมมม โจทย์สไตล์ข้อ 18. นี่เยอะจริงๆครับ
\[ Let : \; u=6-x \; \; \text{เราจะแสดงได้ว่า} \; \; \]
\[\int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}} dx = \int_2^4 \frac{\sqrt{3+x}}{\sqrt{3+x} + \sqrt{9-x}} dx \]
\[ \text{จากผลข้างต้น} \; \; 2 \int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx = \int_2^4 dx = 2 \]
\[ \int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx = 1 \]


ข้อ 20. ครับ
\[\text{จงหาค่าของ} \; \; \; \lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}} \; \; \text{โดยไม่ใช้กฏของโลปิตาล
}\]

ปล. ข้อ 20 นี้ อ. Punk เคยให้ลองคิดเล่นๆตอนที่สอน Calculus 1 ด้วยนะครับ อิอิ ผมนั่งเรียนอยู่

[Mastermander]

20. $$\lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}}$$
$$\because\; \,2^x+3^x=3^x\big((\frac23)^x+1\big) $$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}3\big((\frac{2}{3})^x+1\big)^{\frac{1}{x}}=3(0+1)^0=3$$

21.จงหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง $y = x^2$ จาก $x= 0$ ถึง $x = \sqrt 2$ โดยหมุนรอบแกน y

[Mastermander]

22.จงหาค่าของ
$$\int_0^1 x^5\arctan (x^2)\ dx$$