ช่วยคิดหน่อยค่ะ

[rainbowpark]

1. Let * be an associative binary operation on a set S and n a positive integer. If x*y = y*(x^n) for all x and y in S , must * be commutative ?
หมายเหตุ x^n คือ x ยกกำลัง n

2. Prove : If a,b,c are positive integers such that al(b^c) ,then al(b^a)
หมายเหตุal(b^c) คือ a หาร ( b ยกกำลัง c) ลงตัว

ช่วยแสดงวิธีพิสูจน์เป็นภาษาไทย แบบละเอียดเข้าใจง่ายๆให้หน่อยนะคะ ขอบคุณค่ะ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ rainbowpark:
1. Let * be an associative binary operation on a set S and n a positive integer. If x*y = y*(x^n) for all x and y in S , must * be commutative ?
หมายเหตุ x^n คือ x ยกกำลัง n

ใช่ครับ * เป็น commutative operation ซึ่งจะเห็นได้ชัดในกรณีที่ \(n=1\) ส่วนในกรณีที่ \(n>1\) เราสามารถพิสูจน์ได้โดยเริ่มจากการสังเกตว่า\[(yx)(x^{n-1}y^{n-1})=(yx^n)y^{n-1}=(xy)y^{n-1}=
xy^n=yx\]ดังนั้นโดย induction เราจึงได้ว่า\[(yx)(x^{n-1}y^{n-1})^k=
yx\]สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k

ต่อไปเป็นการแสดงว่า * commutative\[xy=yx^n=(yx^{n-1})x=(x^{n-1}y^n)x=
(x^{n-1}y^{n-1})(yx)=(yx)(x^{n-1}y^{n-1})^n=yx\]

ข้อความเดิมของคุณ rainbowpark:
2. Prove : If a,b,c are positive integers such that al(b^c) ,then al(b^a)
หมายเหตุal(b^c) คือ a หาร ( b ยกกำลัง c) ลงตัว

ข้อความข้างบนเป็นจริงเมื่อ \(a=1\) ในกรณีที่ \(a>1\) เราสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้ครับ

ถ้า \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะและ \(\large p\mid a\) แล้วเราจะได้ว่า \(\large p\mid b^c\) ดังนั้น \(\large p\mid b\) นั่นแสดงว่าตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของ \(a\) จะเป็นตัวประกอบเฉพาะของ \(b\) ด้วย

ให้\[\large a=p_1^{r_1}p_2^ {r_2}\dots p_k^{r_k}
\]โดยที่ \(p_1,p_2,\dots,p_k\) เป็นจำนวนเฉพาะบวกที่แตกต่างกัน และ \(r_1\ge r_2\ge\dots\ge r_k\) เป็นจำนวนเต็มบวก

ดังนั้นเราจะสามารถเขียน \(b\) ได้ในรูป\[\large b=
p_1p_2\dots p_kc\]โดยที่ \(c\) เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น \(\large a\mid b^{r_1}\) และ \(\large a\mid b^n\) สำหรับทุกจำนวนเต็ม \(n\ge r_1\)

เนื่องจาก\[\large a \ge p_1^{r_1} \ge 2^{r_1}\]และเราสามารถพิสูจน์โดย induction ได้ว่า \(2^n>n\) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ดังนั้น \(a>r_1\)

เราจึงสามารถสรุปได้แล้วครับว่า \(\large a\mid b^a\)