โจทย์แก้เหงา

[nooonuii]

เพิ่งสอบกลางภาคเสร็จครับ เปิดมาดูเวบบอร์ดแล้วเหงาจัง เลยเอาโจทย์สนุกๆมาฝากอีกเช่นเคย เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆหอมกรุ่นจากเตา โอ๊ะๆๆๆไม่ใช่ขนมปังครับ คราวนี้ขอทลายกำแพงความคิดของตัวเองมาเล่นโจทย์ทฤษฎีจำนวนดูบ้างครับ ยากง่ายประการใดเชิญติชม เพราะตอนนี้โจทย์ทฤษฎีจำนวนส่วนใหญ่ยังยากสำหรับผมครับ

1. จำนวนเต็มบวกกลุ่มหนึ่งเมื่อนำมาเขียนเป็นเลขฐานสองจะมีหลักหน่วยเป็น 1 เมื่อนำมาเขียนเป็นเลขฐานสามจะมีสองหลักสุดท้ายเป็น 21 และเมื่อเขียนเป็นเลขฐานห้าจะมีสี่หลักสุดท้ายเป็น 4321 จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดในกลุ่มนี้
2.จงหาเศษเหลือจากการหาร n = 737373...73 ด้วย 37 เมื่อ n มี 3 และ 7 เป็นเลขโดดอย่างละ 2005 ตัว

[gon]

ข้อ 2 ครับ.

คลิกที่นี่เพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้

สังเกตว่าเศษจากการหารจำนวนตั้งแต่ 7, 73, 737, ... จะวนเป็นลูปทีละ 6 คือ
7, 36, 34, 10, 33, 0, 7, ...
แต่ 4010 หารด้วย 6 เหลือเศษ 2 ดังนั้น เศษที่ต้องการคือ \( \fbox{36} \)

ยืนยันคำตอบข้อสองครับ
ข้อแรก ไม่รู้ว่าจะน้อยที่สุดไหม แต่คิดได้ 9961 ดังนี้ (ขอเป็นอังกฤษละกัน ขี้เกียจสลับฟอนต์)
Let x be the number we search.
x=1+?*2+....
x=1+2*3+?*3^2+... (where 1+2*3=7)
x=1+2*5+3*5^2+4*5^3+?*5^4+... (where 1+2*5+3*5^2+4*5^3=586)
The Question is then equivalent to the question to find x which satisfy
x=1 mod 2, x=7 mod 9, x=586 mod 625,
which can easily be solved by chinese-remainder theorem (it is applicable since the least common divisor of 2,9,625 is 1).
The Solution should be in the form x=11250a-1289 where a an integer, and thus the least positive x is 11250-1289=9961.
(Phewwwww เสร็จซะที)