ข้อสอบวิชา พีชคณิต 20 ตุลา 49

[goodnews]

1. จงหาค่าของ $\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{1}{2^4+2^2+1}+\frac{1}{3^4+3^2+1}+...+\frac{1}{100^4+100^2+1}$

2. จงหาจำนวนจริง $x,y$ ที่ทำให้ $x^2+y=x+y^2=12$

3. จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xy-1)(yz-1)(zx-1)$

4. จงแสดงว่าพหุนาม $p(x)=(x^2n-2x^2n-1+3x^2n-2-...-2nx)+2n+1$ มากกว่าศูนย์ สำหรับทุก ๆ จำนวนจริง $x$

5. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงและให้ $m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ เมื่อ $x\not= \frac{-d}{c}$ ถ้า $x$ เป็นรากของสมการ $x=m(m(x))$ และ $x$ ไม่เป็นรากของสมการ $x=m(x)$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a+d=0$


ลอง ๆ พิมพ์ดูไม่รู้จะถูกหรือเปล่า ช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ

[Rossix]

ถูกแล้วครับ เดี๋ยวผมเอาข้อ 5 มาลงให้ ส่วนข้อ1 ใครก็ได้เฉลยทีงับ ผมจะลองเช็คดู

[nongtum]

ข้อแรก ไปดูแนวคิดได้ที่คำตอบนี้ของคุณ Passer-by ครับ

[วิหก]

เเย่เเล้วผมทำข้อ 5 ไม่ได้ครับ ขอเเนวคิดหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อ 5 ลองแทนค่าแล้วจัดรูปเป็นพหุนามกำลังสองโดยใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้มา จะพบว่าได้คำตอบทันทีครับ

[kanakon]

ข้อ 2 ผมคิดได้
$$(x,y)=(3,3),(-4,-4),(\frac{1+\sqrt{45} }{2},\frac{1-\sqrt{45} }{2}),(\frac{1-\sqrt{45} }{2},\frac{1+\sqrt{45} }{2})$$

[kanakon]

ผมขอถามข้อสามว่า:
เราพิสูจน์จากพจน์ทางซ้ายไปสู่พจน์ทางขวาได้อย่างเดียวหรือเปล่าคับ
หรือจากพจน์ทางไหนก็ได้

[nooonuii]

ทำจากข้างไหนก็ได้ทั้งนั้นแหละครับ จริงๆโจทย์ข้อนี้คนคิดโจทย์น่าจะหมายความว่าให้แยกตัวประกอบของตัวหน้ามากกว่าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ goodnews

1. จงหาค่าของ $\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{1}{2^4+2^2+1}+\frac{1}{3^4+3^2+1}+...+\frac{1}{100^4+100^2+1}$

ลอง ๆ พิมพ์ดูไม่รู้จะถูกหรือเปล่า ช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ

โจทย์ข้อนี้ที่ถูกควรเป็น
$\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{2}{2^4+2^2+1}+\frac{3}{3^4+3^2+1}+...+\frac{100}{100^4+100^2+1}$

แล้วแก้โดย telescoping technic ตามวิธีของคุณ passer-by ที่คุณ nongtum ได้ link ไว้ให้ในความเห็นที่ 3 แล้วครับ

[วิหก]

ขอเเนวคิดข้อ 3 หน่อยคับ

[V.Rattanapon]

ข้อ 3

\[
L.H.S. = x^2 y^2 z^2 - \left( {x + y + z} \right)xyz + xy + yz + zx - 1
\]
\[
= x^2 y^2 z^2 - x^2 yz - xy^2 z - xyz^2 + xy + yz + zx - 1
\]
\[
= \left( {x^2 y^2 z^2 - xy^2 z} \right) - \left( {x^2 yz - xy} \right) - \left( {xyz^2 - yz} \right) + \left( {zx - 1} \right)
\]
\[
= xy^2 z\left( {zx - 1} \right) - xy\left( {zx - 1} \right) - yz\left( {zx - 1} \right) + \left( {zx - 1} \right)
\]
\[
= \left( {zx - 1} \right)\left( {xy^2 z - xy - yz + 1} \right)
\]
\[
= \left( {zx - 1} \right)\left[ {\left( {xy^2 z - xy} \right) - \left( {yz - 1} \right)} \right]
\]
\[
= \left( {zx - 1} \right)\left[ {xy\left( {yz - 1} \right) - \left( {yz - 1} \right)} \right]
\]
\[
= \left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)
\]
\[
= R.H.S.
\]

[อัจฉริยะข้ามจักรวาล]

ข้อ 3 ผมคิดงี้อะ จาก
(x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1=(xy−1)(yz−1)(zx−1)

ให้ (LHS)=(x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1 , (RHS)=(xy−1)(yz−1)(zx−1)
จะเป็นจริงเมื่อ (LHS) - (RHS) = 0

(LHS) = (x^2)(y^2)(z^2)-(x^2)(y)(z)-(x)(y^2)(z)-(x)(y)(z^2)+xy+yz+zx-1

= (x^2)(y)(z)[yz-1]-xy[yz-1]-xz[yz-1]+[yz-1]

= [yz-1][(x^2)(y)(z)-xy-xz+1]

= [yz-1]{xy[xz-1]-[xz-1]}

= (xy−1)(yz−1)(zx−1)

(RHS) = (xy−1)(yz−1)(zx−1)
ดังนั้น (LHS) - (RHS) = 0
เพราะฉะนั้น (x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1=(xy−1)(yz−1)(zx−1)
ง่ายแปลกๆไม่รู้ถูกอะป่าว

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ข้อนี้ที่ถูกควรเป็น
$\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{2}{2^4+2^2+1}+\frac{3}{3^4+3^2+1}+...+\frac{100}{100^4+100^2+1}$

แล้วแก้โดย telescoping technic ตามวิธีของคุณ passer-by ที่คุณ nongtum ได้ link ไว้ให้ในความเห็นที่ 3 แล้วครับ

พิจารณา$\frac{n}{n^4+n^2+1}=\frac{n}{(n^2+1)^2-n^2}$
$= \frac{n}{(n^2+n+1)(n^2-n+1)}$
$= \frac{1}{2}(\frac{1}{n^2-n+1}-\frac{1}{n^2+n+1})$
$\therefore \frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{2}{2^4+2^2+1}+...+\frac{100}{100^4+100^2+1}$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{1^2-1+1}-\frac{1}{1^2+1+1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2^2-2+1}$ $-\frac{1}{2^2+2+1})+.....+\frac{1}{2}(\frac{1}{100^2-100+1}-\frac{1}{100^2+100+1})$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{10101})$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{10100}{10101}$
$=\frac{5050}{10101}$

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

ไม่รู้ว่าพี่KanakonทำวิธีเดียวกับผมหรือปาวTwT ช่วยดูหน่อยนะว่ายากเกินไปอ่ะป่าวมีวิธีง่ายกว่าไม๊
ให้ $x^2+y=12$-------->1
$x+y^2=12$---------->2
$x^2+y=x+y^2$
$x^2-y^2=x-y$
$(x+y)(x-y)=x-y$
$(x+y)(x-y)-(x-y)=0$
$(x-y)(x+y-1)=0$
ดังนั้น $x=y$ หรือ $x+y=1$
นำ$x=y$แทนในสมการที่1
ได้ $y^2+y=12$
$y^2+y-12=0$
$(y+4)(y-3)=0$ ; $y=-4,3$ จาก$x=y$จะได้เซตของคำตอบว่า $(x,y)=(3,3),(-4,-4)$
คราวนี้ใช้$x+y=1$ ได้$x=1-y$ แทนในสมการที่2
ได้ คำตอบเหมือนสองอันด้านหลังพี่kanakonกั๊ฟTwTเสดแย่ว~

[Slate]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aรักการเรียนครับป๋ม

ไม่รู้ว่าพี่KanakonทำวิธีเดียวกับผมหรือปาวTwT ช่วยดูหน่อยนะว่ายากเกินไปอ่ะป่าวมีวิธีง่ายกว่าไม๊
ให้ $x^2+y=12$-------->1
$x+y^2=12$---------->2
$x^2+y=x+y^2$
$x^2-y^2=x-y$
$(x+y)(x-y)=x-y$
$(x+y)(x-y)-(x-y)=0$
$(x-y)(x+y-1)=0$
ดังนั้น $x=y$ หรือ $x+y=1$
นำ$x=y$แทนในสมการที่1
ได้ $y^2+y=12$
$y^2+y-12=0$
$(y+4)(y-3)=0$ ; $y=-4,3$ จาก$x=y$จะได้เซตของคำตอบว่า $(x,y)=(3,3),(-4,-4)$
คราวนี้ใช้$x+y=1$ ได้$x=1-y$ แทนในสมการที่2
ได้ คำตอบเหมือนสองอันด้านหลังพี่kanakonกั๊ฟTwTเสดแย่ว~

$x^2+y=x+y^2$
$x^2-y^2=x-y$

งงตรงนี้ครับ ทำไมกลายมาเปน x-y เฉยๆอะ ช่วยไขทีครับ