Problems for Mathcenter Contest Round 2

[nongtum]

ขออภัยในความล่าช้าครับ

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้จนถึงเวลา 23:50 น. วันจันทร์ที่ 16 มิถุนายน 2551 เท่านั้น

โอลิมปิก

คะแนนเต็ม 43 คะแนน

1. (5 คะแนน) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกจงพิสูจน์ว่า $$\frac {x}{\sqrt {x + y}} + \frac {y}{\sqrt {y + z}} + \frac {z}{\sqrt {z + x}}\geq\sqrt [4]{\frac {27(yz + zx + xy)}{4}}$$
(เสนอโดยคุณ dektep)

2. (5 คะแนน) จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งมีคุณสมบัติว่า

$~~~~~$1) $P(x)$ ไม่เป็นพหุนามคงตัวและเป็นพหุนามโมนิค

$~~~~~$2) $P(x)$ มีรากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่มีรากซ้ำ

$~~~~~$3) ถ้า $P(a)=0$ แล้ว $P(a|a|)=0$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (5 คะแนน) ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $n > 1$ นิยาม $g_n$ เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวนเหล่านี้ และนิยาม $A_1,A_2,...,A_n$ เป็นลำดับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่นิยามโดย $A_k = \frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$ เมื่อ $k = 1,2,...,n$ และให้ $G_n$ เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ $A_1,A_2,...,A_n$ จงพิสูจน์ว่า
$$n\sqrt[n]{\frac{G_n}{A_n}}+\frac{g_n}{G_n}\leq n+1$$
และจงหาว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด
(เสนอโดยคุณ Art_Ninja)

4. (5 คะแนน) สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ มีด้าน $AB$ และ $CD$ ขนานกัน $\hat{DAB} = 6^{\circ}$ และ $\hat{ABC} = 42^{\circ}$
จุด $X$ อยู่บนด้าน $AB$ ทำให้ $\hat{AXD} = 78^{\circ}$ และ $\hat{CXB} = 66^{\circ}$
ถ้าระยะห่างระหว่าง $AB$ และ $CD$ เท่ากับ $1$ หน่วย แล้ว
จงพิสูจน์ว่า $AD + DX - (BC + CX) = 8$ หน่วย
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

5. (5 คะแนน) กำหนดให้ $P_1(x)=\frac{1}{x}$ และ $P_n(x)=P_{n-1}(x)+P_{n-1}(x-1)$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่า 1
จงหาค่าของ $P_{2008}(2008)$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

6. (6 คะแนน) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $f(x^2 + y^2 + 2f(xy))= (f(x+y))^2$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$
(เสนอโดยคุณ Art_Ninja)

7. (6 คะแนน) สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ ให้ $\sigma(n)$ มีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ $n$ (ตัวอย่างเช่น $\sigma(6)=1+2+3+6=12$)
จงหาคำตอบของสมการ
\[\sigma(p^2)=\sigma(q^b)\]
เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะโดยที่ $p>q$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก
(เสนอโดยคุณ gools)

8. (6 คะแนน) กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้วมีเผ่าหนึ่งชื่อว่าเผ่า Goblin โดยที่จะมีการละเล่นประะจำเผ่าคือ "The ATM Game(เกมแจก Level)" เล่นโดยมี Goblin อยู่จำนวนหนึ่งยืนเรียงกันเป็นวงกลม แล้วหัวหน้าเผ่าก็จะกำหนด Level ให้ Goblin แต่ละตัว ซึ่งจะเหมือนหรือต่างกันก็ได้ (Level เป็นตัวเลขซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ) เริ่มเล่นโดยการเลือก Goblin ตัวหนึ่งที่มี Level $k$ ($k \not= 0$) ขึ้นมา สมมติให้เป็น Goblin A แล้วให้ Goblin A ระเบิดตัวเอง แล้ว Level ของ Goblin A จะกลายเป็น 0 หลังจากนั้น Level ของ Goblin $k$ ตัวที่อยู่ถัดจาก Goblin A ตามเข็มนาฬิกาได้รับ Level เพิ่มขึ้น 1 Level จงพิสูจน์ว่า
1.) ถ้าหลังจากนั้นให้ Goblin ตัวที่ $k$ ที่อยู่ถัดจาก Goblin A ระเบิดตัวเอง แล้วทำแบบนี้ต่อไปเรื่อยๆ(ถ้า Goblin ตัวที่ระเบิดครั้งล่าสุดมี Level $k'$ ก็ให้ Goblin ตัวที่ $k'$ ที่อยู่ถัดจาก Goblin ตัวนั้นตามเข็มนาฬิการะเบิดตัวเอง) จงพิสูจน์ว่า Level ของ Goblin แต่ละตัวจะกลับมาเท่าเดิมอีกครั้ง
2.) ถ้าหลังจากนั้นเราสามารถเลือก Goblin ตัวไหนก็ได้ที่ Level ไม่เป็น 0 ให้ระเบิดตัวเอง แล้วทำแบบนี้ต่อไปเรื่อยๆ จงพิสูจน์ว่า ไม่ว่า Level เริ่มต้นจะเป็นเท่าไหร่เราก็สามารถทำให้ Level แต่ละตัวเป็นไปตามที่เราต้องการได้ แต่มีข้อแม้ว่าผลรวมของ Level ของ Goblin ทั้งหมดต้องเท่ากับตอนเริ่มต้น
(เสนอโดยคุณ gools)

มหาวิทยาลัย

คะแนนเต็ม 30 คะแนน

1. (4 คะแนน) พิสูจน์ว่า $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{2551x}{2}) cosec(\frac{x}{2}) -1 \,\, dx > \frac{152}{105} $$
(เสนอโดยคุณ passer-by)

2. (4 คะแนน) ให้ $A$ เป็น real matrix ที่มีมิติเป็นจำนวนคู่ และ $\det(A)<0$ จงพิสูจน์ว่า $A$ มี eigenvalue ที่เป็นจำนวนจริงอย่างน้อยสองค่าที่แตกต่างกัน
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (5 คะแนน) แก้วไวน์ว่างเปล่า มีรูปทรงที่เกิดจากการหมุนพาราโบลา $ y= x^2 $ จาก $ x= 0 $ ถึง $ x= 10 $ รอบแกน y

ถ้าขณะนั้นมีแมลงตัวหนึ่งอยู่ในแก้วไวน์ และมนุษย์คนหนึ่งเริ่มเทไวน์ลงไปในแก้ว ด้วยอัตรา $ \lambda $ ลูกบาศก์หน่วยต่อวินาที

ทันที ที่ขาแมลงเปียกไวน์ แมลงตัวนั้นคลานขึ้นไปตามขอบแก้วในทิศทางตามโค้งพาราโบลา $ y= x^2 $ เพื่อหนีไวน์ที่เพิ่มระดับขึ้นมาเรื่อยๆ

หาอัตราเร็วน้อยที่สุดในการคลานหนีไวน์ได้สำเร็จ ณ ตำแหน่งที่แมลงตัวนี้ถึงปากแก้วพอดี (ตอบติด $ \lambda$ )
(เสนอโดยคุณ passer-by)

4. (5 คะแนน) จงหาค่าของ $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n)!}=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{9!}+\cdots $$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

5. (6 คะแนน) กำหนดลำดับ $\displaystyle{a_{n}=\sin(n!\cdot\pi\cdot e)}$ ลำดับนี้ลู่ออกหรือลู่เข้าสู่ค่าใดจงพิสูจน์
(เสนอโดยคุณ Timestopper_STG)

6. (6 คะแนน) กำหนดให้ $\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\left(a\cos^{2}x+b\sin^{2}x\right)^{2551}}}$ จงหาค่าของ $I$ ในรูปของ $a,b$ เมื่อ $\displaystyle{a,b\in\mathbb{R^{+}}}$
(เสนอโดยคุณ Timestopper_STG)

ประถม

คะแนนเต็ม 30 คะแนน

1. (5 คะแนน) ให้ $ABCD$ เป็นจำนวน $4$ หลัก โดยที่

\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{A} & \rm{B} & \rm{C} & \rm{D} & _{\times} \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & & & & & 9 \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{D} & \rm{C} & \rm{B} & \rm{A} \;\end{array}}}
\end{array}\]

จงหา $A+B+C+D$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (5 คะแนน) นาฬิกา 3 เรือน ดังทุกๆ 45 วินาที, 1 นาที และ 1 นาที 20 วินาที อยากทราบว่าหลังจากที่นาฬิกาทั้ง 3 เรือนดังพร้อมกันแล้ว จะได้ยินเสียงนาฬิกาดังอีกกี่ครั้ง ก่อนที่นาฬิกาทั้ง 3 เรือนจะดังพร้อมกันอีกครั้งหนึ่ง
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

3. (5 คะแนน) ไก่ และ ไข่ กำลังคุยกันเรื่องน้องของไข่

ไก่ : ฉันลืมไปแล้วว่าน้องทั้งสามของเธออายุเท่าไหร่บ้าง
ไข่ : อายุเป็นปีของน้องทั้งหมดของฉันคูณกันได้เท่ากับ 36
ไก่ : ฉันก็ยังไม่รู้อยู่ดีล่ะ
ไข่ : ถ้าเอาอายุของน้องทั้งหมดของฉันมาบวกกัน ก็เท่ากับวันที่เกิดของเธอไง
ไก่ : จริงอ่ะ แต่ฉันก็ยังไม่รู้อยู่ดีน่ะแหล่ะ
ไข่ : งั้นวันหลังค่อยมาคุยต่อ ฉันต้องไปรับน้องคนโตแล้ว
ไก่ : อ๋อ ฉันรู้แล้วล่ะว่าน้องของเธอแต่ละคนอายุเท่าไหร่บ้าง

อยากทราบว่าน้องของไข่แต่ละคนอายุเท่าไหร่บ้าง
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

4. (5 คะแนน) กำหนดให้ $3^2+7^2+11^2+...+2551^2 = A $ และ $3+7+11+...+2551 = B$
จงหาค่าของ $1*3+5*7+9*11+...+2549*2551$ ในรูปของ A,B
(เสนอโดยคุณ หยินหยาง)

5. (5 คะแนน) ถ้านำจำนวน $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...$มาเขียนเรียงต่อกันไปเรื่อยๆ เลขโดดในลำดับที่ 2551 คือตัวเลขใด
(เสนอโดยคุณ หยินหยาง)

6. (5 คะแนน) จงแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 4 หน่วย ออกเป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน 12 รูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมือนกัน 4 รูป และรูปที่แบ่งแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากัน
(เสนอโดยคุณ nongtum)

มัธยมต้น

คะแนนเต็ม 37 คะแนน

1. (4 คะแนน) จงหาค่าของ $$\Big(1-\frac{1}{2^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{3^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{4^2}\Big)\cdots\Big(1-\frac{1}{2551^2}\Big)$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (4 คะแนน) มีจำนวนจริง $x,y$ ที่ทำให้สมการต่อนี้เป็นจริงพร้อมกันหรือไม่ $$(1)\ \ x+y=1,\qquad (2)\ \ x^2+y^2=2,\qquad (3)\ \ x^3+y^3=3$$
(เสนอโดยคุณ nongtum)

3. (4 คะแนน) มีลูกบาศก์ขนาดต่างกันสองใบ ที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม ขนาดผลรวมของปริมาตรของลูกบาศก์ทั้งสอง เท่ากับขนาดของผลรวมของความยาวของขอบทุกขอบของลูกบาศก์ทั้งสอง

จงหาคู่ลูกบาศก์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
(เสนอโดยคุณ nongtum)

4. (5 คะแนน) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

5. (5 คะแนน)


จากแบบรูปที่กำหนดให้ จงหาว่าในรูปที่ $n$ มีรูปสี่เหลี่ยม (ที่ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมใดอยู่ภายใน) ทั้งหมดกี่รูป
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

6. (5 คะแนน) กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $(x+y)^2: (y+z)^2: (z+x)^2=25:5:1$
จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เป็นบวกของ $\displaystyle{\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

7. (5 คะแนน) มีฝน 6500 หยดตกลงบนพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 64 ตารางเมตร จงแสดงว่ามีฝนอย่างน้อย 100 หยด ที่ระยะห่างของแต่ละหยดน้อยกว่า 15 เซนติเมตร
(เสนอโดยคุณ nongtum)

8. (5 คะแนน) ในสามเหลี่ยมด้านเท่า $ABC$ ที่มีความยาวด้าน $a$ เลือกจุด $P$ บน $AB$ และจุด $Q$ บน $AC$ ที่ทำให้ $|AP|\ne |AQ|$ และ $|AP|+|AQ|=a$
เราจะกำหนดจุด $R$ บนด้าน $BC$ ที่ทำให้สามเหลี่ยม $PQR$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้หรือไม่
(เสนอโดยคุณ nongtum)

มัธยมปลาย

คะแนนเต็ม 36 คะแนน

1. (4 คะแนน) จงแก้สมการ $$\arctan{(\frac{1}{x})}+\arctan{(\frac{1}{x+3})}+\arctan{(\frac{1}{x+6})}=\frac{\pi}{4}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (4 คะแนน) ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงพิสูจน์ว่า $$x\leq y \Leftrightarrow 2007x^3+2551xy^2\leq 2008x^2y+2550y^3$$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

3. (5 คะแนน) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องระบบอสมการ

$~~~~~|a+b+c|\leq 3$

$~~~~~|a-b+c|\leq 2$

$~~~~~|a+b-c|\leq 1$

จงหาค่าสูงสุดของ $|a+2b+3c|$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

4. (5 คะแนน) กำหนดให้ รากของสมการ $x^{4} - x^{3} - x^{2} - 1 = 0$ คือ $a, b, c, d$
ถ้า $P(x) = x^{6} - x^{5} - x^{3} - x^{2} - x$ แล้ว จงหาค่าของ $P(a) + P(b) + P(c) + P(d)$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)
ยกเลิกโจทย์ตามรายละเอียดในความคิดเห็นที่ 11

5. (5 คะแนน) กำหนดให้ $p, q, s, t$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $0 < p < q < s < t$
$p, q, s$ เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต และ $q, s, t$ เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต
ถ้า $t - p = 30$ แล้ว จงหาค่าของ $p + q + s + t$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

6. (6 คะแนน) จงหาจำนวนของลำดับเรขาคณิตทั้งหมดที่เป็นลำดับอนันต์ ซึ่งมีทุกพจน์เป็นจำนวนเต็มและมีพจน์ใดพจน์หนึ่งเท่ากับ 2008
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

7. (6 คะแนน) กำหนดพหุนาม $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$
โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $a_i\in \{-1,0,1\}$ สำหรับแต่ละ $i=0,1,2,...,n-1$ และ $p(3)=2008$
จงหาค่าของ $p(-3)$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

8. (6 คะแนน) จงพิสูจน์ว่า $\sin \frac{2\pi}{15} + \sin \frac{4\pi}{15} + \sin \frac{8\pi}{15} + \sin \frac{16\pi}{15} = \frac{\sqrt{15}}{2}$
(เสนอโดยคุณ gon)

[Nickname]

ถึงจะช้าไปหน่อยแต่ผมก็ต้องขอขอบคุณพี่ที่มงานทุกท่านที่จัดกิจกรรมดีๆอย่างนี้ขึ้นมาครับ(โจทย์ท่าทางน่าสนุกจัง)

[Timestopper_STG]

ข้อ 4 ประถมน่าจะตกคำว่า "ในรูปของ A,B"
ข้อ 3 มัธยมต้นสะกดคำว่า "ลูกบาศก์" ผิดครับ

[Nickname]

ทำไมของมัธยมต้นตรงAttachment 831เข้าไม่ได้อะครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ข้อ 4 ประถมน่าจะตกคำว่า "ในรูปของ A,B"
ข้อ 3 มัธยมต้นสะกดคำว่า "ลูกบาศก์" ผิดครับ

ข้อ 4 ประถม คุณหยิินหยางก็ลืมพิมพ์ ผมก็อปมาตรงๆก็ลืมดูไป ขอบคุณครับ
ส่วนคำว่า ลูกบาศก์ นี่ หลังๆผมใช้แต่ตัวย่อหรือภาษาอังกฤษ จนลืมไปเลยว่าการันต์ตรงไหน ขอบคุณครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nickname

ทำไมของมัธยมต้นตรงAttachment 831เข้าไม่ได้อะครับ

แก้ไขแล้วครับ ที่เข้าไม่ได้คงเป็นเพราะผู้ดูแลหรือผู้ออกโจทย์เท่านั้น ที่สามารถเห็น attachment ในกระทู้ส่งโจทย์ครับ

[holmes]

ข้อ 6 โอลิมปิก ต้องหาทั้งหมดป่าวครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ holmes

ข้อ 6 โอลิมปิก ต้องหาทั้งหมดป่าวครับ

เท่าที่ดูจากวิธีทำที่ส่งมา คิดว่าหาทั้งหมดครับ

[Art_ninja]

ต้องหาทั้งหมดนะครับ ผมขอโทษพี่ nongtum ด้วยนะครับที่พิมพ์ผิดไป ตกคำว่า "ทั้งหมด" ครับ

[kanakon]

โจทย์ section olympic ของคุณ gools ข้อ 8 น่าสนุกดีนะครับ

[dektep]

โจทย์ทั้งสองข้อของคุณ Art นี่ค่อนข้างดังเลยครับ
คิดว่าหลายคนคงเคยผ่านมาแล้ว

[nongtum]

ประกาศ:
เนื่องจากข้อ 4 ระดับมัธยมปลาย ซ้ำกับความคิดเห็นที่ 162 ในกระทู้นี้ ดังนั้น ผมขอยกเลิกโจทย์ข้อนี้นะครับ
กล่าวคือ ผมจะไม่ลบโจทย์ แต่จะไม่นับคะแนนของข้อนี้ หากใครแสดงแนวคิดที่ต่างออกไปจากลิงค์นี้ ก็ยังจะได้รับการตรวจ แต่จะไม่ได้รับคะแนน
และคุณ Heir of Ramanujan ผู้เสนอโจทย์จะไม่ได้รับคะแนนโจทย์ข้อนี้ครับ

ขอขอบคุณคุณ Mathophile ที่บอก และขออภัยทุกท่่านในความไม่สะดวกครับ

[Heir of Ramanujan]

ขออภัยที่เสนอโจทย์ไป ไม่ได้เช็คดูว่าซ้ำกับโจทย์เก่า

[au]

ขออภัยที่มาถามช้าไปนะครับ
สงสัยว่า ประถมข้อ 2 เนี่ย ตอนที่ระฆัง 2 ใบ ดังพร้อมกัน นับเป็นกี่ครั้งครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ au

ขออภัยที่มาถามช้าไปนะครับ
สงสัยว่า ประถมข้อ 2 เนี่ย ตอนที่ระฆัง 2 ใบ ดังพร้อมกัน นับเป็นกี่ครั้งครับ

1 ครั้งครับ

[au]

ขอบคุณครับ (ตอบไวจัง)