เพชรยอดมงกุฎ ยากพอสมควร

[jojo]

โดยส่วนตัวผมคิดว่าปีนี้มีปัญหาเรื่องการตรวจข้อสอบแน่นอน

เฉลยคงมีคำตอบที่ถูกต้องทุกข้อ แต่บางpartอย่างเช่นpart2เนี่ย ซึ่งตอนทำผมก็พอทำได้ และคิดว่าคะแนนจะได้ระดับนึง แต่พอผลประกาศคะแนนมาแล้วคะแนนหวบเหลือเลขหลักเดียวเนี่ย ตอนแรกก็ขึ้นว่าเราอาจพลาด แต่พอลองถามจากเพื่อนๆในกลุ่มmath'o ด้วยกันแล้วก็เจอปัญกาเหมือนๆักัน

อาจจะเป็นเพราะเขารีบตรวจให้ทันกับเวลาประกาศผลหรือเปล่า

ปีนี้ข้อสอบลดระดับความยากลงไปเยอะมาก ทำให้มีเด็กภูธรติดมาเพียบ(แอบบ่นอีก2คะแนนจะได้ขึ้นเวทีแล้ว) แถมการประกาศผลก็ผิดพลาด ทำให้ในการประกาศผลครั้งสุดท้ายต้องเอาพวกที่มีชื่อติดไปในตอนแรก ขึ้นไปบนเวทีด้วย ดูซิ ดูเขาทำ

[prachya]

ได้แค่ที่ 81 เองครับ รางวัลคะแนนผ่านเกณฑ์
แต่ยังค้างคาใจ ที่ part 3 ผมได้แค่ 2 คะแนน ????? เต็ม 60

น่าเสียดายแทน jojo นะครับ ได้ที่ 15 ได้รางวัลชมเชยเพชร แต่อีกแค่ 3 คะแนนก็จะเข้ารอบชิงแล้ว

[<KAB555>]

ขออนุญาตมาขุดกระทู้ค่ะ (มีข้อที่สงสัยเยอะเลย)

19. กำหนด $a_n$ เป็นพจน์ที่ n ของลำดับ โดยที่ $a_n=\frac{(a_{n-1})^2}{a_{n-2}} $ และ $a_1=\frac{1}{2}$ , $a_2=\frac{1}{4}$ จงหา $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$

22. กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก สมการ xy-2547x-2004y=0 มีกี่คำตอบ

27. กำหนดให้ $g(x)=\frac{x-5}{x-3} $
นิยาม $g^n(x)=(\underbrace{g\circ g\circ g\circ g\circ ... \circ g}_{n ตัว} )(x)$ จงหาค่าของ $g^{2008}(2008)$

28. กำหนดให้ $\frac{1+sin\theta }{5+4 cos\theta } $ มีค่าต่ำสุดเป็น A และค่าสูงสุดเป็น B จงหาค่าของ A+9B

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

ขออนุญาตมาขุดกระทู้ค่ะ (มีข้อที่สงสัยเยอะเลย)

19. กำหนด $a_n$ เป็นพจน์ที่ n ของลำดับ โดยที่ $a_n=\frac{(a_{n-1})^2}{a_{n-2}} $ และ $a_1=\frac{1}{2}$ , $a_2=\frac{1}{4}$ จงหา $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$

22. กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก สมการ xy-2547x-2004y=0 มีกี่คำตอบ

27. กำหนดให้ $g(x)=\frac{x-5}{x-3} $
นิยาม $g^n(x)=(\underbrace{g\circ g\circ g\circ g\circ ... \circ g}_{n ตัว} )(x)$ จงหาค่าของ $g^{2008}(2008)$

28. กำหนดให้ $\frac{1+sin\theta }{5+4 cos\theta } $ มีค่าต่ำสุดเป็น A และค่าสูงสุดเป็น B จงหาค่าของ A+9B

Hint

19. $a_n = \frac{1}{2^n} $

22. $(x-2004)(y-2547) = 2004\times 2547$

27. $g^4(x) = x$

28. $\dfrac{d}{d\theta } (\dfrac{1+sin\theta }{5+4 cos\theta}) = \dfrac{4sin\theta +5cos\theta + 4}{(5+4cos\theta )^2} $

ตอบ

19. $1$

22. $48$

27. $2008$

28. $10$

[Thgx0312555]

เสนอแนวคิดหลายๆอย่างเพิ่มให้ครับ
19. $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$
ทำให้ $\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}= \cdots$ ซึ่งสอดคล้องกับนิยามลำดับเรขาคณิต

27. สังเกตว่า $(g(g(x))-2)(x-2)=1$ (หรือจะหาไปถึง $g^4(x)$ ก็ได้)

28. Let $\frac{1+\sin \theta}{5+4 \cos \theta}=k$ จะได้ $\sin \theta -4k \cos \theta = 5k-1$
และใช้ identity $-\sqrt{a^2+b^2} \le a \sin \theta + b \cos \theta \le \sqrt{a^2+b^2}$ จะหาค่ามาก/น้อยสุดของ $k$ ได้

(Proof: ลองให้ $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ดู)

หมายเหตุค่าน้อยสุดสามารถใช้เอกลักษณ์ที่ว่า $-1 \le \sin \theta, \cos \theta \le 1$ หาได้

[<KAB555>]

ขอทราบแนวคิด ขอบพระคุณล่วงหน้าค่ะ (อีก 10 ข้อ)

51.กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็ม ถ้า f(x) เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) และ q(x)
โดยที่ $p(x)=x^4+6x^2+25$ และ $q(x)=3x^4+4x^2+28x+5$ แล้ว จงหาค่าของ $f'(5)$

52. กำหนดให้ $f(x)=Ax+B$ โดยที่ $A\not= 0$ ถ้า $f(1)=1$ และ $f(f(f(2)))=2f'(4)$ แล้ว $A^4+B$ มีค่าเท่าไร

53. กำหนด $\alpha $ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $a^4d^6$ ในการกระจาย $(a+b+c+d+e)^{10}$ และ $\beta $ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $a^5b^3$ ในการกระจาย $(3+a+b)^{10}$
จงหาค่าเฉลี่ยของ $\alpha $ และ $\beta $

54. กำหนดให้ $y=f(u-\frac{1}{u} )$ , $u=\frac{2004+x}{2004-x} $ และ $f'(0)=2004$ จงหาค่าของ $\frac{dy}{dx} $ เมื่อ x=0

55. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่ง $f(B)=4sin\,B\,sin^2\,(\frac{\pi }{4} +\frac{B}{2} )+cos\,2B$ โดยที่ $\left|\,f(B)-m\right| <2$ จงหาค่าสูงสุดของ m

56. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ด้าน BC ยาว 13 หน่วย ด้าน AC ยาว 14 หน่วย และด้าน BC ยาว 15 หน่วย ถ้า $cot\,A+cot\,B+cot\,C=\frac{m}{n} $
เมื่อ m, n เป็นจำนวนเต็ม และ ห.ร.ม. ของ m และ n เท่ากับ 1 แล้ว m+n มีค่าเท่าใด

57. กำหนด $f(x)=\left|\,x^2+4x\right| $ และ $g(x)=\left|\,x^2-16\right| $
ถ้า a และ b เป็นคำตอบของสมการ f(x)=g(x) แล้ว $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}+\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} $ มีค่าเท่าใด

58. กำหนดให้ $\int\,f(x)dx =\frac{2}{15}(15x^2+12x+8)\sqrt{(x-1)^3}+c $ เมื่อ c เป็นค่าคงตัว ดังนั้น $2f'(2)$ มีค่าเท่าใด

59. จำนวนวิธีจัดหมู่ตัวอักษรครั้งละ 4 ตัว กับจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรครั้งละ 4 ตัว ในคำว่า PROPORTION ต่างกันเท่าไร

60. ข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง $\sum_{i = 1}^n(x_i-9)^2 $ มีค่าน้อยที่สุด และ $\sum_{i = 1}^n(x_i-7)^2 =40n$ จงหาความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

ขอทราบแนวคิด ขอบพระคุณล่วงหน้าค่ะ (อีก 10 ข้อ)

51.กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็ม ถ้า f(x) เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) และ q(x)
โดยที่ $p(x)=x^4+6x^2+25$ และ $q(x)=3x^4+4x^2+28x+5$ แล้ว จงหาค่าของ $f'(5)$

นำ p(x) มาแยกตัวประกอบแบบบวกเข้าลบออกพจน์กลาง ได้เป็นผลคูณของพหุนามกำลังสอง สองวงเล็บ จากนั้นสุ่มเอาพหุนามในวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งไปหาร q(x) โดยตั้งหารยาว ถ้าหารลงตัวก็แสดงว่า f(x) คือพหุนามที่เลือกมา ถ้าหารไม่ลงตัวก็เป็นของอีกวงเล็บหนึ่งนั่นเองครับ.

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

53. กำหนด $\alpha $ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $a^4d^6$ ในการกระจาย $(a+b+c+d+e)^{10}$ และ $\beta $ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $a^5b^3$ ในการกระจาย $(3+a+b)^{10}$
จงหาค่าเฉลี่ยของ $\alpha $ และ $\beta $

$(a+b+c+d+e)^{10} = \Sigma \frac{10!}{i! j! k! l! m!}\cdot a^ib^jc^kd^le^m$

โดยที่ $i, j, k, l, m$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เปนลบ ซึ่ง $i+j+k+l+m = 10$


$(3+a+b)^{10} = \Sigma \frac{10!}{i! j! k!} \cdot 3^i a^j b^k$

โดยที่ $i, j, k $เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่ง $ i+j+k = 10$