TMO 15 Discussion

[Pitchayut]

Day 1

1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$
ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$
ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ และ $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$.

(ก) จงแสดงว่า $B, C, P, Q$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

(ข) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x+f(y)) = f(x) + y^2$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$.

3. แม่หญิงการะเกดแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกข้อมูลลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,2,4,8,16$ และ $32$ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าเมืองนครราชสีมาเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ

จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุดแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด

4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ
$$\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}$$
5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $5^5$ ลงตัว

Day 2

6. ให้ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $2x^2 = 3y^3 + 4z^4$.

(ก) จงแสดงว่าถ้า $(x,y,z)\in A$ แล้ว $x,y,z$ หารด้วย $6$ ลงตัว

(ข) จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์

7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,61\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด
จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$

8. สลาก $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากทุกใบมีค่ามากกว่า $2330$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลาก $n$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $1165$
จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$

9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$
ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$
ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ
ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$
จงแสดงว่า $AD=AQ$

10. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ สอดคล้องกับ $af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $y>2018$ แล้วจะมีฟังก์ชัน $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + h(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$

[จูกัดเหลียง]

ดูซอฟท์ลงมากจริงๆครับ

[Pitchayut]

วันที่สองมาแล้วนะครับ เชิญทำได้ตามสบายเลยครับ

[ZenithX]

ข้อ 6,
(ก) ชัดเจนว่า $2\mid y$ ทำให้ได้ว่า $y=2k$ สำหรับ $k\in \mathbb{Z}$
ทำไปเรื่อยๆ จะได้ $2\mid x$ นั่นคือ $x=2l$ , $l\in \mathbb{Z}$
และ $2\mid z$ จะได้ $z=2m$ , $m\in \mathbb{Z} $
พิจารณา $2x^2=3y^3+4z^4$
จะได้ $8l^2=24k^3+64m^4$ $\Rightarrow$ $l^2=3k^3+8m^4$
พิจารณาทั้งสองฝั่งในมอดุโล 3
จะได้ $l^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$
แต่ $8m^4+3k^3 \equiv 0,2 \pmod{3}$
ทำให้สรุปได้ว่า $l^2 \equiv 8m^4+3k^3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 3\mid l \Rightarrow 6\mid x$
แทนค่าตัวแปรไปเรื่อยๆ จะสรุปได้ว่า $6\mid y$ และ $6\mid z$ ตามต้องการ
(ข) แทนค่า $x=54\cdot 6^6\cdot n^6$
$y=6^5\cdot n^4$
$z=6^4\cdot n^3$
จะได้ว่าสมการเป็นจริงทุก $n\in \mathbb{Z} $ จึงได้ $(x,y,z)$ มีไม่จำกัดและ A เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ

[Phongwish1412]

ข้อ6. โจทย์เขาบอกว่าสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็มครับ
-
-
ข้อข.)
แทน$x=0 ,y=6(-2k^4), z=6(k^3)$ ก็จะได้เช่นเดียวกัน

[Beatmania]

เอาไปทำเล่นสนุกๆ ครับ เผื่อมีคนบอกว่าวันแรกยังไม่ยากพอ

Day 1 Hell's Edition

1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$

ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$

ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ , $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$ และ $PC$ ตัด $BQ$ ที่จุด $X$.

(ก) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

(ข) จงแสดงว่า วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $PQX$ สัมผัสกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$

2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้

$$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$

สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$ .

3. แม่หญิงกาลกิณีแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกวิดิโอลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,\sqrt[3]{2} ,\sqrt[3]{2^2},2,\sqrt[3]{2^4} $ และ $\sqrt[3]{2^5} $ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง

โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าของวิดิโอเพื่อเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ

จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น

หรือผลบวกความจุแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด

4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ
$$(1+\frac{a^3}{b^3})(1+\frac{b^3}{c^3})(1+\frac{c^3}{a^3})$$

5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $2018$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $2018^{2018}$ ลงตัว

ไม่ได้เรียงยาก-ง่ายนะครับ ผมกับเพื่อนผม(จิรายุส)เป็นคนดัดแปลงโจทย์พวกนี้ครับๆ

[Phongwish1412]

แม่หญิงกาลกิณี 555555
(ปล.ถ้าพิสูจน์ว่าชุดที่ไม่เหมือนกันมันบวกกันไม่เท่ากันเสมอ ที่เหลือก็ง่ายเลยครับ)
_____________________
ฉันวอนให้สายลมพัดลอยผ่านไป

[Pitchayut]

Hell Edition P1 แทบจะใช้ความรู้ทุกเรื่องใน สสวท 2 แนะนำว่าอย่าอ่านจะดีกว่าครับ

Solution

Let $\omega$ be the incircle of $\Delta ABC$.
Let $T$ be the point which $\odot(BTC)$ touches $\omega$.

Let $M, N$ be the midpoint of $BC, DI_A$ resp., where $I_A$ is the $A$-excenter of $\Delta ABC$. Notice that $MN\perp BC$. Thus $NB=NC$. Moreover, by taking homothety ratio $0.5$ at $D$, we see that $I_AE=I_AF\implies NP=NQ$ thus $N$ is the center of $BCPQ$.

Let $K = BC\cap PQ$. It's well known that $PQ$ is the radical axis of $\odot(BIC)$ and $\omega$. Thus $K$ is the radical center of $\omega, \odot(BIC)$ and $\odot(ABC)$. Thus $KB\cdot KC = KD^2$. Moreover, by radical axis on $\odot(BTC), \odot(ABC), \omega$, we deduce that $KT$ touches $\omega$.

Now we are ready to prove that $T, P, Q, X$ are concyclic. We invert around $\omega$, which sends $P\to B$, $Q\to C$, $X\to \odot(BIQ)\cap\odot(CIP) = Y$, which is the Miquel Point of self-crossing quadrilateral $BQCP$. Thus $Y$ is the foot from $I$ to $KN$. We have to show that $BTCY$ is cyclic.

By ISL 2002 G7, $T$ lies on $DI_A$. Moreover, by homothety, $TD$ bisects $\angle BTC$. Thus $BTCN$ is cyclic. Moreover, note that $\angle BYI = 180^{\circ}-\angle BPX = 180^{\circ}-\angle CQX = \angle CYI$. So $YN$ is the external bisector of $\angle BTC$. Hence $BTCYN$ is cyclic as claimed.

Finally, notice that $KT^2 = KB\cdot KC = KP\cdot KQ$. Thus $KT$ is tangent to both of $\omega$ and $\odot(TPQX)$ thus both circles are tangent at $T$ is desired.

[Pitchayut]

มาทยอยลง Solution (แบบปกติ)

Solution 1.

(ก) ให้ $I$ เป็น incenter ของ $\Delta ABC$ เห็นได้ชัดว่า $P\in BI, Q\in CI$ และ
$$IP\cdot IB = ID^2 = IQ\cdot IC\implies BCPQ\textrm{ concyclic}$$
ตามต้องการ

(ข) จาก $BP\perp DF$ และ $CQ\perp DE$ จะได้ว่า
$$\angle SPR = \angle BPC - 90^{\circ} = \angle BQC - 90^{\circ} = \angle SQR \implies PQRS\textrm{ concyclic}$$
ตามต้องการ

Solution 2

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x+f(y)) = f(x)+y^2$

$P(0,0)\implies f(f(0)) = f(0)$ ทำให้ $P(0,f(0))\implies f(0)=0$

$P(0,y)\implies f(f(y)) = y^2$ เพราะฉะนั้น $f(y^2) = f(y)^2$

$P(x,f(y))\implies f(x+y^2) = f(x) + f(y^2)$ เมื่อแทน $x$ ด้วย $-y^2$ จะพบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จึงสรุปได้ว่า $f(x+y) = f(x)+f(y)$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

แต่ $f(y^2) \geqslant 0$ เพราะฉะนั้น $f(x) = cx$ สำหรับบางค่าคงที่ $c$ ซึ่งขัดแย้ง

Solution 3

สังเกตว่า flash drive ที่บ่าวแต่ละคนได้ จะสอดคล้องกับการกระจายเลขฐานสองของผลบวกความจุที่ตัวเองได้รับ

เพราะฉะนั้น สมมติให้มีสองคน $P_1, P_2$ ที่ผลบวกความจุเท่ากัน จะพบว่า ทั้งสองคนต้องได้ flash drive เป็นเซตเดียวกัน เราดูขนาดความจุอันหนึ่ง ซึ่งทั้งสองคนมีเหมือนกัน ให้ $P_3$ เป็นอีกคนที่ถือ flash drive ขนาดเท่านี้

สังเกตว่า จะต้องมี flash drive แบบนึงที่ $P_1, P_2, P_3$ ไม่มี (เพราะใช้ไปแค่ $5$ แบบ) ดังนั้น เงื่อนไขแรกของโจทย์จึงต้องเป็นจริงตามต้องการ

Solution 4

สังเกตว่าเปลี่ยน $(a,b,c)$ เป็น $(-a,-b,-c)$ ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ เพราะฉะนั้น WLOG $a,b>0$ แต่ $c<0$

จากเงื่อนไข $a+b+c=0$ จะได้ $a^2+ab+b^2 = b^2+bc+c^2 = c^2+ca+a^2$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} &= \frac{(ab(a+b))^2}{(a^2+ab+b^2)^3} \\
&\leqslant \frac{(ab(a+b))^2}{\left(\frac{3}{4}(a+b)^2\right)^3} \\
&\leqslant \frac{\frac{(a+b)^6}{16}}{\frac{27}{64}(a+b)^6} \\
&= \frac{4}{27}
\end{align*}$$
Equality Case เกิดเมื่อ $(a,b,c) = (1,1,-2)$ ทำให้คำตอบคือ $\boxed{\frac{4}{27}}$

Solution 5

จะแสดงว่า $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ เห็นได้ชัดว่า $5\mid a^5+b^5\implies 5\mid a+b$ ต่อไปจัดรูป
$$\begin{align*}
a^5+b^5 &= (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \\
&= (a+b)((a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3) + 5a^4)
\end{align*}$$
สังเกตว่า $b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3\equiv 10b^3\equiv 0\pmod 5$ ดังนั้น $25\mid (a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3)$ แต่ $25\nmid 5a^4$ ดังนั้น $a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ หารด้วย $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $25$ ไม่ลงตัวเสมอ

เพราะฉะนั้น $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ ตามต้องการ นั่นคือคำตอบคือ $\boxed{625}$

[Thgx0312555]

ขอลง Hint ทุกข้อไว้นะครับ [แบบปกติ]
ปีนี้ข้อสอบง่ายกว่าเดิมเยอะเลย (ยกเว้นข้อ 10 นะ)

DAY1

Hint 1

ไล่มุม

Hint 2

มีหลายวิธี แต่วิธีที่ผมทำนะ
- $f$ onto
- $f(x+f(y)) \ge f(x)$

Hint 3

จำนวนเต็มทุกตัวจะมี presentation ใน base 2 เพียงแบบเดียว

Hint 4

$c = -a-b$

Hint 5

$5 \mid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ but $25 \nmid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$

DAY 2

Hint 6

ก. check $\mod 2,3,4,8$
ข. $(x,y,z) \in A \rightarrow (6^{6}x,6^{4}y,6^{3}z) \in A$

Hint 7

สมมติว่าเป็นการจัดที่ได้ค่าน้อยที่สุด แล้วใช้ $2^{n+1}+2^{n-1} > 2^n + 2^n$

Hint 8

$A$ คือผลบวก $n+1$ ใบที่น้อยที่สุด
$B$ คือผลบวก $n$ ใบที่มากที่สุด
จะได้ว่า $A>B$

hint ต่อไป

หาค่าต่ำสุดของ $a_1$ เมื่อ $a_1$ เป็นไพ่ใบที่น้อยที่สุด

Hint 9

$\angle KPL = 90^\circ$, ไล่ด้าน

10 ติดปัญหาหน่อย เดี๋ยวลบก่อนครับ

[Pitchayut]

Solution 6-9

Solution 6

(ก) ขั้นแรกจะแสดงว่า $3\mid x,y,z$

สังเกตว่า $3\mid 2x^2-4z^4\implies z^4\equiv 2x^2\pmod 3$ ซึ่งเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $3\mid x, z$

เพราะฉะนั้น $9\mid 2x^2-4z^4=3y^3\implies 3\mid y$ ตามต้องการ

ต่อไป จะแสดงว่า $2\mid x,y,z$ สังเกตว่า $2\mid 2x^2-4z^4 =3y^3\implies 2\mid y$

เพราะฉะนั้น $4\mid 3y^3+4z^4 = 2x^2\implies 2\mid x$

ดังนั้น $8\mid 2x^2+3y^3 = 4z^4\implies 2\mid z$ ตามต้องการ

(ข) สังเกตว่า $(54t^6, 6t^4, 6t^3)\in A$ เพราะฉะนั้น $A$ เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ

Solution 7

ให้สีที่ $i$ ปรากฎในตัวเลข $a_i$ ตัว เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...+a_{25}=61$ เห็นได้ชัดว่า
$$m = (2^{a_1}-1) + (2^{a_2}-1) + ... + (2^{a_{25}}-1)$$
ต่อไปจะใช้เทคนิค smoothing พิสูจน์ว่าค่าต่ำสุดของ $m$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $(a_1,a_2,...,a_{25})$ มีแค่ $2$ และ $3$ เท่านั้น

สังเกตว่าถ้ามี $a,b\in \{a_1,a_2,...,a_{25}\}$ ที่ $a-b\geqslant 2$ แล้ว เราสามารถเปลี่ยน $(a,b)$ เป็น $(a-1, b+1)$ ซึ่งทำให้ค่า $m$ เปลี่ยนเป็น
$$\begin{align*}
m' &= m + (2^{a-1}-2^a) + (2^{b+1}-2^b) \\
&= m -2^{a-1} + 2^b \\
&< m
\end{align*}$$
ซึ่งน้อยกว่าเดิม เพราะฉะนั้น การที่ $m$ จะน้อยสุดนั้น ทุกสองพจน์ใดๆ ของลำดับ $a_1,a_2,...,a_{25}$ จะต้องต่างกันไม่เกิน $1$ แต่ผลบวกต้องเป็น $61$ เพราะฉะนั้น ลำดับนี้ต้องประกอบไปด้วย $2,3$ เท่านั้น

แก้สมการได้ไม่ยากว่าต้องมี $2$ ทั้งหมด $14$ ตัว และ $3$ ทั้งหมด $11$ ตัว เพราะฉะนั้น คำตอบคือ $14\cdot 2^2 + 11\cdot 2^3 - 25 = \boxed{119}$

Solution 8

คำตอบคือ $n=10$ ซึ่งสามารถสร้างได้โดยใช้ $101,102,...,121$ ต่อไปจะแสดงว่ามากสุด

ให้หมายเลขสลากเป็น $a_1 > a_2 >... > a_{2n+1}$ สังเกตว่า $ a_{n+i+1}\leqslant a_i- n+1$ สำหรับทุก $i$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
2331 &\leqslant (a_1+a_2+...+a_n) + (a_{n+1}) + (a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{2n+1}) \\
&\leqslant a_{n+1} + (a_1+a_2+...+a_n) + [(a_1-(n+1)) + (a_2-(n+1)) +...+ (a_n -(n+1))] \\
&= a_{n+1} + 2(a_1+a_2+...+a_n) - n(n+1) \\
&\leqslant a_{n+1} + 2330 - n(n+1)
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $a_{n+1} \geqslant n(n+1)$ ดังนั้น $a_{n+1-i}\geqslant n(n+1) + i$ สำหรับทุก $i=1,2,...,n$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
1165 &\geqslant a_1+a_2+...+a_n \\
&\geqslant (n(n+1)+1) + (n(n+1)+2) + (n(n+1)+3) + ... + (n(n+1)+n) \\
&= \frac{(n(2n^2+3n+1)}{2}
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $n\leqslant 10$ ตามต้องการ

Solution 9

ให้ $X, Y$ เป็น projection จาก $K, L$ ลง $AP$

ให้ $Q'$ เป็นจุดบน $AP$ ที่ทำให้ $PX = Q'Y$ จะแสดงว่า $Q=Q'$ จาก $\angle KPL = 90^{\circ}$ จะได้
$$\begin{align*}
\Delta KPX\sim \Delta PLY &\implies \frac{KX}{PY} = \frac{PX}{LY} \\
&\implies \frac{KX}{Q'X} = \frac{Q'Y}{LY} \\
&\implies \Delta KQ'X \sim\Delta Q'LY
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $\angle KQ'L = 90^{\circ}\implies Q'=Q$ ตามต้องการ

สุดท้ายนี้ สังเกตว่า
$$\begin{align*}
AQ &= AP - PX - PY \\
&= AP - \frac{AP+BP-AB}{2} - \frac{AP+CP-AC}{2} \\
&= AP- \frac{2AP + BC - AB- AC}{2} \\
&= \frac{AB+AC-BC}{2}
\end{align*}$$
ดังนั้น $AQ=AD$ ตามต้องการ

[Thgx0312555]

Solution ข้อ 10 แก้ใหม่แล้ว

10.

$$af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y); y > 2018 \quad ...(0)$$

$$af(x+2y)+bf(x-2y)=cf(x)+g(2y) \quad ...(1)$$
ได้ไม่ยากว่า
$$a^2f(x+2y)+b^2f(x-2y)=(c^2-2ab)f(x)+g(y)(a+b+c) \quad ...(2)$$
จาก (1),(2)
$$(a^2-ab)f(x+2y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_1(y) \quad ...(3)$$
เมื่อ $h_1(y) = g(y)(a+b+c)-g(2y)$
$$(a^2-ab)f(x+4y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_2(y) \quad ...(4)$$
เมื่อ $h_2(y) = h_1(2y)$

จาก (3),(4)
$$(a^2-ab)(f(x+4y)-f(x+2y))=h_2(y)-h_1(y)$$

Case 1. If $a \neq b$ then $$f(x+4y)-f(x+2y)=h_3(y)$$
เมื่อ $h_3(y) = \dfrac{h_2(y)-h_1(y)}{a^2-ab}$

จะได้ไม่ยากว่า
$$ f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_4(y)$$
เมื่อ $h_4(y)=2h_3(y)$

Case 2. If $a=b$ พิจารณาสมการที่ 3
$$0=(c^2-2a^2-ac)f(x)+h_1(y)$$

$c=2a$ or $c=-a$ or $f(x)$ is constant

Case 2.1 If $c=2a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_5(x)$$
เมื่อ $h_5(x)=\dfrac{g(2y)}{a}$

Case 2.2 If $c=-a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+6y)=f(x)$$
จะได้ว่า $f(x)$ is constant

Case 2.3 $f(x)$ is constant -> trivial

Conclusion

ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+h(y)$$
สำหรับ $y > 4036$ แล้ว

ขยายเป็น $y \in \mathbb{R}$ ไม่ยากแล้วครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Solution ข้อ 10 แก้ใหม่แล้ว

10.

$$af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y); y > 2018 \quad ...(0)$$

$$af(x+2y)+bf(x-2y)=cf(x)+g(2y) \quad ...(1)$$
ได้ไม่ยากว่า
$$a^2f(x+2y)+b^2f(x-2y)=(c^2-2ab)f(x)+g(y)(a+b+c) \quad ...(2)$$
จาก (1),(2)
$$(a^2-ab)f(x+2y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_1(y) \quad ...(3)$$
เมื่อ $h_1(y) = g(y)(a+b+c)-g(2y)$
$$(a^2-ab)f(x+4y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_2(y) \quad ...(4)$$
เมื่อ $h_2(y) = h_1(2y)$

จาก (3),(4)
$$(a^2-ab)(f(x+4y)-f(x+2y))=h_2(y)-h_1(y)$$

Case 1. If $a \neq b$ then $$f(x+4y)-f(x+2y)=h_3(y)$$
เมื่อ $h_3(y) = \dfrac{h_2(y)-h_1(y)}{a^2-ab}$

จะได้ไม่ยากว่า
$$ f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_4(y)$$
เมื่อ $h_4(y)=2h_3(y)$

Case 2. If $a=b$ พิจารณาสมการที่ 3
$$0=(c^2-2a^2-ac)f(x)+h_1(y)$$

$c=2a$ or $c=-a$ or $f(x)$ is constant

Case 2.1 If $c=2a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_5(x)$$
เมื่อ $h_5(x)=\dfrac{g(2y)}{a}$

Case 2.2 If $c=-a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+6y)=f(x)$$
จะได้ว่า $f(x)$ is constant

Case 2.3 $f(x)$ is constant -> trivial

Conclusion

ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+h(y)$$
สำหรับ $y > 4036$ แล้ว

ขยายเป็น $y \in \mathbb{R}$ ไม่ยากแล้วครับ

ทำไมถึงลบ hint อันเก่าออกไปเหรอครับ

ไอเดียตรงส่วนนั้นมันมีปัญหาอะไร

เพราะเหมือนว่า solution นี้ไม่ได้ใช้ lemma อันนั้นแล้ว

[Beatmania]

โทษทีครับ ติดงานที่มหาลัย ;_; อาจจะง่ายกว่าวันแรกครับ 555

Day 2 Hell's Edition

6. ให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันและ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $px^p = qy^q + rz^r$. จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์

7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,2561\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี

ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคู่โดยไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด

จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$

8. ให้ $k$ เป็นจำนวนนับ สลากกินแบ่ง $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน

โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่งทุกใบมีค่ามากกว่า $x$

แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่ง $k$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $\frac{kx}{2n}$

จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ ในรูปของ $x,n$

9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ และ $AC$ ที่ $E$

ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$

ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ

ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$

ให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบ $QED$

จงแสดงว่า $\Gamma$ และวงกลมล้อมรอบ $KPL$ สัมผัสกัน ก็ต่อเมื่อ วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $ ABP,ACP$ มีรัศมีเท่ากัน

10. เหมือนเดิมครับ มันยากอยู่แล้ว (หมดไอเดียในการทำให้ยากละครับ 55555)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้

$$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$

สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$

ขอข้อเดียวก่อนครับ ไม่ชัวร์ด้วย 555

Let $k=2.018,c=f(0)$ the equation becomes $f(x+f(y))=f(x)+y^k$
$P(x,0):f(x+c)=f(x)\Longrightarrow f(c)=c$
$P(x,c):f(x)=f(x+c)=f(x)+c^k\therefore f(0)=c=0:P(0,x)\Longrightarrow f(f(x))=x^k$ see that $f(f(1))=1$
$$(x+f(y))^k=f(f(x+f(y)))=f(y^k+f(x))=f(y^k)+x^k...(m)$$
replace $x=0$ in the above equation we have $\displaystyle f(y^k)=f(y)^k$
replace $x=1,y=f(1)$ in the equation $(m)$ we have $2^k=2$ which is impossible since $k\not =1$