ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2561

[Leng เล้ง]

$1.\ ให้\ P(x)=x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+1\ มีรากทุกรากเป็นจำนวนจริง\ โดยที่\ a_i\geqslant 0 \ และ \ P(\frac{-1}{1024})=0 \ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ\ P(2) $
$2.\ กำหนดให้\ A\subset \left\{1,2,3,...,2018\right\} \ จงหาจำนวนสมาชิกที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ\ A \ โดยที่\ (a-b)\nmid (a+b) \ \ ;\forall a,b\in A $
$3.\ กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ ซึ่งมี\ H\ เป็นจุดตัดของเส้นส่วนสูง ให้วงกลม\ \omega \ มี\ BC \ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง\ ลาก\ AP,AQ\ สัมผัสวงกลม\ \omega \ ที่จุด\ P,Q \ ตามลำดับ\ จงพิสูจน์ว่า\ P,H,Q\ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $
$4.\ พิจารณาการเขียนเลขบนลูกบาศก์\ โดยเขียนจำนวนเต็มคี่ที่จุดยอดทั้ง\ 8\ และเขียนจำนวนบนหน้าทั้ง\ 6\ ซึ่งแต่ละหน้าเกิดจากผลคูณของจุดยอดทั้ง\ 4 \ จงพิสูจน์ว่าผลรวมของทั้ง\ 14\ จำนวนนี้เป็น\ 0 \ ไม่ได้ $
$5.\ กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ ลากวงกลม\ \omega \ ผ่านจุด\ A,B\ และตัด\ AC,BC\ ที่จุด\ P,Q\ ตามลำดับ\ ให้จุด\ R,S\ อยู่บนด้าน\ AB\ โดยที่\ PS//BC \ และ\ QR//AC \ จงพิสูจน์ว่า\ P,Q,R,S\ อยู่บนวงกลมเดียวกัน$
$6.\ กำหนด\ a,b,c\in \mathbb{R^+}\ จงหาค่า\ k\ ที่มากที่สุดที่ทำให้ \frac{kabc}{a+b+c} +\frac{108abc}{2a+3b+6c} \leqslant \frac{8a^3+27b^3+216c^3}{2a+3b+6c} +12(ab+4ac+9bc) $
$7.\ กำหนด\ A={1,2,3,...,17} \ จงหา\ f:A\rightarrow A \ ทั้งหมดที่ $
$\quad 1)\ \ f(a)=1\leftrightarrow a=1 $
$\quad 2)\ \ (a,b)=d\rightarrow (f(a),f(b))=f(d)$
$\quad 3)\ \ f([a,b])=f(ab)\leqslant f(a)f(b)$
$8.\ กำหนด\ f:\mathbb{N} \rightarrow S \ ที่มีสมบัติดังนี้ $
$\ \ \ \ ถ้า\left|a-b\right| เป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะคี่\ หรือเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองตัว\ แล้ว\ f(a)\not= f(b) \ ;\forall a,b\in \mathbb{N} \ จงหาค่าต่ำสุดของจำนวนสมาชิกใน\ S $

[Thgx0312555]

4 ข้อแรกครับ

1. Hint

พิสูจน์ว่ารากทุกรากเป็นบวก + อสมการ

2. Hint

mod 3

3. Hint

คิดออกแต่วิธี harmonics + polar ครับ น่าจะง่ายสุดแล้ว

4. Hint

mod 4 + invariant
ข้อนี้ยากจริงครับ โอกาสหลงทางเยอะมาก

[Thgx0312555]

อีก 4 ข้อ

Hint 5.

ไล่มุม + ระวังเรื่อง R,S อยู่สลับที่กันได้ดีๆ

Hint 6.

$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}$ + weight ดีๆครับ

Hint 7.

$p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างๆกัน
$f(p^n) = f(p)$
$f(pq) = f(p)f(q)$
$(f(p),f(q)) = 1$
ที่เหลือก็ไล่ๆ ไม่ยากแต่ยุ่งนิดหน่อยครับ

Hint 8.

mod 4 + ขั้นยกตัวอย่างจะยากนิดนึง ตัวอย่างนึงคือใช้

...

$x,x+10,x+25,x+35$