STEP II krub

[Counter Striker]

1. Find the sum of those numbers between 1000 and 6000 every one of whose digits is one of the numbers 0, 2, 5 or 7, giving your answer as a product of primes.

2. (i) When the polynomial p(x) is divied by (x-1), (x-2), (x-3) the remailders are 3, 1, 5 respectively. Given that
p(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + r(x),
where q(x) and r(x) are polynomials with r(x) having degree less than three, find r(x)
(ii) Find a polynomial P(x) of degree n+1, where n is a given positive integer, such that for each integer a satisfying 0<= a <= n , the remainder when P_n(x) is divided by (x-a) is a.

[wilser]

ุถึงคุณ counter
I send my answer about your problem but my answer is not complete my answer is 2(i)
r(x) is the remainder function
from your question the remainder is 3,1,5
so from theory 3,1,5 could write (x-3)(x-1)(x-5)
so r(x) is (x-3)*(x-1)*(x-5)=x^3-9x^2 -23x-15
If my ans wer is wrong I am sorry because I don't sure my answer

[Counter Striker]

I think your answer is not correct nakrub. I can easily show counterexample;

When p(x) is divided by (x-1), the remainder is 3.
Therefore p(1) = 3 = r(1).

But your answer, r(x), is not satisfied with r(1) = 3 nakrub.

Acutually, I think you multiplied the factors wrongly nakrub. Just check it!!

[gon]

ข้อ (2) ก่อนนะครับ.
(1), p(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3) q(x) + mx² + nx + k
ดังนั้น p(1) = m + n + k = 3 ... (1)
p(2) = 4m + 2n + k = 1 ... (2)
p(3) = 9m + 3n + k = 5 ... (3)
sol these eq : get (m, n, k) = (3, -11, 11)
นั่นคือ r(x) = 3x² -11x + 11

(2) , p(x) = x(x - 1)(x - 2) ... (x - n) + x

ข้อ (1) ,
กรณีที่ 1 , หลักพันเป็นเลข 2 ดังนั้นหลักร้อยอาจจะเป็น 0, 2, 5, 7 เช่นเดียวกับหลักสิบและหน่วย นั่นคือจะมีได้ทั้งหมด 4*4*4 = 64 แบบ โดยในหลักหน่วยจะมีเลข 0 , 2, 5 และ 7 เป็นจำนวนตัวเท่า ๆ กันคือ 64/4 = 16 แบบ ดังนั้นผลบวกของหลักหน่วยทั้งหมดคือ 16 ( 0 + 2 + 5 + 7) = 16*14 = 224 จึงใส่ 4 ทด 22 ดังนั้นหลักสิบผลบวกคือ 224 + 22 = 246 ใส่ 6 ทด 24 และ ผลบวกของหลักร้อยคือ 224 + 24 = 248 ใส่ 8 ทด 24 สุดท้ายผลบวกของหลักพันคือ (2*64) + 24 = 152
สรุปผลบวกกรณีนี้คือ 152864

กรณีที่ 2 , หลักพันเป็น 5 ได้ จะมี 64 แบบเช่นกัน โดยผลบวกของหลักหน่วยคือ 16( 0 + 2 + 5 + 7) = 224 ใส่ 4 ทด 22 ต่อไปก็หลักสิบ 224 + 22 = 246 ใส่ 6 ทด 24 หลักร้อย 224 + 24 = 248 ใส่ 8 ทด 24 และหลักพัน (5*64) + 24 = 344
สรุปผลบวกกรณีนี้คือ 344864

กรณีที่หลักพันเป็น 0 ไม่ได้ เพราะจะเป็นเลข 3 หลัก และ หลักพันเป็น 7 ไม่ได้เพราะจะเกิน 6000

ดังนั้นผลบวกทั้งหมดคือ 152864 + 344864 = 497728 = 8(62216) = (8)(8)(7777) = (8)(8)(7)(1111) = (8)(8)(7)(11)(101) = 2⁶ x 7 x 11 x 101

[Counter Striker]

Hmm...I got it, thank you so much krub

[warut]

ผมว่าคำตอบข้อ 2(ii) ที่สมบูรณ์น่าจะเป็น
P(x) = cx(x - 1)(x - 2) ... (x - n) + x
โดยที่ c เป็นค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์นะครับ

[gon]

ใช่แล้วครับ. ลืมค่าคงตัวไปสนิทเลย

[TSW]

ขอเสริมข้อ 1 ครับ เพราะจริงๆ แล้วไม่ต้องคิดเรื่องทดไปหลักที่สูงขึ้นก็ได้ เราบวกไปมันก็ทดของมันเอง

กรณี (1) เลขขึ้นต้นด้วย 2 ซึ่งมีอยู่ 64 จำนวน อยู่ในรูป 2xxx โดยที่ x เป็น 0,2,5,7
2 ในหลักพันปรากฏ 64 ครั้ง, ผลรวมย่อย=2, ค่าประจำหลัก=1000
ดังนั้นผลรวมที่ได้จากหลักพัน = 64*2*1000

0,2,5,7 ในหลักร้อยแต่ละตัวปรากฏ 16 ครั้ง, ผลรวมย่อย=0+2+5+7=14, ค่าประจำหลัก=100
ดังนั้นผลรวมที่ได้จากหลักร้อย = 16*14*100

0,2,5,7 ในหลักสิบแต่ละตัวปรากฏ 16 ครั้ง, ผลรวมย่อย=0+2+5+7=14, ค่าประจำหลัก=10
ดังนั้นผลรวมที่ได้จากหลักสิบ = 16*14*10

0,2,5,7 ในหลักหน่วยแต่ละตัวปรากฏ 16 ครั้ง, ผลรวมย่อย=0+2+5+7=14, ค่าประจำหลัก=1
ดังนั้นผลรวมที่ได้จากหลักหน่วย = 16*14*1

ผลรวมสำหรับกรณี (1) = 64*2000 + 16*14*(100+10+1) = 64*2000 + 16*14*111

กรณี (2) เลขขึ้นต้นด้วย 5
คิดในทำนองเดียวกัน แค่เปลี่ยนเลขนำหน้าจาก 2 เป็น 5 ตัวเดียว
ได้ผลรวมสำหรับกรณี (2) = 64*5000 + 16*14*111

ผลรวมทั้งหมด = ผลรวมของกรณี(1) + ผลรวมของกรณี(2)
= 64*2000 +16*14*111 + 64*5000 + 16*14*111
= 64*(2000+5000) + 16*14*111*2
= 64*(2000+5000) + 16*7*2*111*2
= 64*(2000+5000) + 16*2*2*7*111
= 64*7000 + 64*7*111
= 64*7*(1000+111) = 64*7*1111 = 64*7*11*101 = 2⁶*7*11*101