1st IMO 1959,Q#04

[YOKEE]

Given the length |AC|,
construct a triangle ABC with angle ABC = 90 degrees, and the median BM satisfying BM² = AB*BC.

กำหนด เส้นตรง AC มาให้ ต้องการให้สร้าง สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีมุม B เป็นมุมฉาก,และ BM² = AC*BC (M เป็นจุดกึ่งกลางของ AC)

[TSW]

เนื่องจาก ABC เป็นมุมฉากและ M เป็นจุดกึ่งกลาง AC
ดังนั้นวงกลมที่ล้อมรอบ ABC จะมี M เป็นจุดศูนย์กลาง และ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
จะได้ว่า BM=AM=MC เป็นความยาวรัศมีวงกลม

พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = 1/2 * AB*BC ............[Eq 1]
พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = 1/2 * (BM*MA sin(AMB) + BM*MC sin(BMC)
แต่ sin(AMB) = sin(BMC) เพราะว่า AMB+BMC=180ฐ
และ MA=MC=BM
ดังนั้น
พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = BM² * sin(AMB) ..............[Eq 2]
จาก [Eq 1] และ [Eq 2] จะได้ AB*BC=BM² * 2 sin(AMB) .......[Eq 3]

โจทย์ภาษาอังกฤษกับภาษาไทยไม่ตรงกันนะครับ

ภาคภาษาอังกฤษ BM² = AB*BC
จาก [Eq 3] จะได้ว่า 2 sin(AMB) = 1
ดังนั้น AMB = 30ฐ, 150ฐ
---------------------------------------------------------
ภาคภาษาไทย BM² = AC*BC
พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = 1/2 * AC*BC * sin(BCM) = 1/2 * BM² * sin(BCM) .............[Eq 4]

จาก [Eq 2] และ [Eq 4] จะได้ว่า
BM² * sin(AMB) =1/2* BM² * sin(BCM)
sin(AMB) =1/2 * sin(BCM) .....[Eq 5]
แต่สามเหลี่ยม BCM เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ BM=MC ดังนั้น BMC=BCM
ผลบวกของมุมภายในด้านตรงข้ามเท่ากับมุมภายนอก ดังนั้น AMB = BMC+BCM = 2*BCM .......[Eq 6]

จาก [Eq 5]และ [Eq 6] จะได้
sin(2*BCM) = 1/2 * sin(BCM)
2 sin(BCM) cos(BCM) = 1/2 * sin(BCM)
cos(BCM) = 1/4
BCM = arccos(1/4)