รบกวนช่วยอธิบายเกี่ยวกับ minimal polynomial หน่อยครับ

[nattapor]

รบกวนช่วยอธิบายเกี่ยวกับ minimal polynomial หน่อยครับ
ว่าคืออะไร
นิยาม
วิธีการหา
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

minimal polynomial ของอะไรครับ มีให้เลือกสองแบบ

1. matrix

2. algebraic number

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

minimal polynomial ของอะไรครับ มีให้เลือกสองแบบ

1. matrix

2. algebraic number

ขออนุญาติเลือกแทนนะครับเลือก algebraic number ครับ

[nooonuii]

$\alpha$ เป็น algebraic number ถ้า $\alpha$ เป็นรากของพหุนามที่มี ส.ป.ส. เป็นจำนวนตรรกยะ

พหุนามโมนิคที่มีกำลังน้อยที่สุดซึ่งมี $\alpha$ เป็นรากจะเรียกว่า minimal polynomial ของ $\alpha$

ตัวอย่าง

$\clubsuit$ $\sqrt{2}$ เป็น algebraic number เพราะเป็นรากของ $x^2-2,x^4-3x^2+2,...$

minimal polynomial ของ $\sqrt{2}$ ก็คือ $x^2-2$

$\clubsuit$ $i=\sqrt{-1}$ ก็เป็น algebraic number เพราะเป็นรากของ $x^2+1,x^4-1,...$

minimal polynomial ของ $i$ คือ $x^2+1$

$\clubsuit$ $\sqrt[3]{2}$ ก็เป็น algebraic number มี minimal polynomial คือ $x^3-2$

[littledragon]

ขอบคุณมากครับ

[[SIL]]

เป็นพหุนามดีกรี 1 ไม่ได้หรอครับ อย่างเช่น -2 เป็นรากของ x+2
ปล. ถ้าผมจำไม่ผิด ผมเข้าใจว่าพหุนามโมนิค คือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของดีกรีสูงสุดเป็น 1

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\alpha$ เป็น algebraic number ถ้า $\alpha$ เป็นรากของพหุนามที่มี ส.ป.ส. เป็นจำนวนตรรกยะ

พหุนามโมนิคที่มีกำลังน้อยที่สุดซึ่งมี $\alpha$ เป็นรากจะเรียกว่า minimal polynomial ของ $\alpha$

ตัวอย่าง

$\clubsuit$ $\sqrt{2}$ เป็น algebraic number เพราะเป็นรากของ $x^2-2,x^4-3x^2+2,...$

minimal polynomial ของ $\sqrt{2}$ ก็คือ $x^2-2$

$\clubsuit$ $i=\sqrt{-1}$ ก็เป็น algebraic number เพราะเป็นรากของ $x^2+1,x^4-1,...$

minimal polynomial ของ $i$ คือ $x^2+1$

$\clubsuit$ $\sqrt[3]{2}$ ก็เป็น algebraic number มี minimal polynomial คือ $x^3-2$

แล้วนำไปใช้ในการทำโจทย์แบบไหนครับ

[nooonuii]

จริงๆแล้ว minimal polynomial อยู่ใน Field and Galois Theory ซึ่งเป็นวิชาระดับ ป.โท ขึ้นไปครับ

แต่ถ้าให้ยกตัวอย่างการใช้งานอย่างง่ายก็คงเป็นการเอาไปใช้ทำโจทย์ตรีโกณที่เกี่ยวกับผลบวกหรือผลคูณของมุมอย่างเช่น

$\sin{1^{\circ}}+\sin{3^{\circ}}+\cdots+\sin{89^{\circ}}=??$

แต่การแก้โดยวิธีนี้ก็ยังยุ่งยากอยู่ดีครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\sin{1^{\circ}}+\sin{3^{\circ}}+\cdots+\sin{89^{\circ}}=??$

ทำไงอะครับ