ค่าสูงสุดต่ำสุดของผลบวกผลคูณ(Sums and Product)

[กิตติ]

พอดีได้หนังสือมาอ่านชื่อ...Maxima and Minima without Calculus เขียนโดย Ivan Niven ออกมาตั้งแต่ในปี 1981 เป็นหนังสือในซีรี่ย์ของThe Dolciani Mathematics Expositions...เล่ม6 สนับสนุนโดยสมาคมคณิตศาสตร์ของอเมริกา......ผมอ่านไปเรื่อยๆ อ่านได้ไม่กี่หน้า ไม่รู้ว่าจะจัดลงห้องไหนเอาลงห้องนี้แล้วกัน เอาไว้อ่านกันสนุกๆ
พิมพ์ไปเซฟไปแล้วกันครับ.....ไม่งั้นหายหมด

ผลบวกและผลคูณ(Sums and Product)
ในบทนี้อ่านดูๆแล้วจะมีความคล้ายกับการใช้เรื่องของพาราโบลาด้วย.....
ลองดูปัญหาที่ถามกันว่า"จงหาจำนวนนับสองจำนวนที่รวมกันได้60 แล้วผลคูณของสองจำนวนนั้นมีค่ามากที่สุดเป็นเท่าไหร่".คำตอบคือ $30$ และ $30$.โดยคู่จำนวนอื่นๆอย่างเช่น $20$ และ $40$ ให้ผลคูณที่น้อยกว่า.หากเราลองขยายโจทย์ต่อออกไปเป็น"จงหาจำนวนนับสามจำนวนที่มีผลรวมเท่ากับ 60และผลคูณของทั้งสามจำนวนมีค่ามากที่สุด" จะได้ว่าทั้งสามจำนวนนี้คือ $20,20$ และ $20$. ถ้าโจทย์ถามทำนองเดียวกันแต่เปลี่ยนเป็นจำนวนนับสี่จำนวน คำตอบที่ได้ก็จะเป็น$15,15,15$และ $15$. แนวคิดที่ลองสังเกตพบคือ ทำให้จำนวนทั้งหมดนั้นเท่ากัน

มาดูคำถามอีกแบบ "จงหาจำนวนนับสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้ $64$ และผลบวกของทั้งสองจำนวนมีค่าน้อยที่สุด" คำตอบคือ $8$ และ $8$ ทำไมถึงถามว่าเป็นค่าต่ำสุด ไม่ใช่ค่าสูงสุด ก็เพราะว่าไม่มีจำนวนคู่ใดๆที่ทำให้เกิดค่าสูงสุด เราอยากได้ค่ามากที่สุดเท่าไหร่ก็เลือกค่ามาได้เอง อย่างเช่นลองเลือก$64000$ กับ $0.001$ ซึ่งก็เข้ากับที่ถาม. เมื่อลองเพิ่มเป็นสามจำนวนนับในคำถามเดียวกัน คำตอบที่ได้ก็คือ$4,4$ และ $4$.....คำถามเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วๆไปสำหรับบทนี้

กำลังสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือเป็นบวก(Any Square Is Postive or Zero)
กำลังสองของจำนวนจริงใดๆมีค่าเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ โดยที่กำลังสองเท่ากับศูนย์เมื่อจำนวนนั้นคือศูนย์
ทฤษฎีบท 2.2a....สำหรับค่าคงที่$c$, ค่าสูงสุดของ$cx-x^2$ สำหรับทุกๆจำนวนจริง $x$ คือ $\frac{c^2}{4} $ เกิดขึ้นที่ค่า$x=\frac{c}{2} $

$$cx-x^2=\frac{c^2}{4}-\left(\,x-\frac{c}{2} \right)^2 $$

จะเห็นว่าค่าของ$\left(\,x-\frac{c}{2} \right)^2\geqslant 0$ ดังนั้นค่าสูงสุดหรือมากที่สุดของ$cx-x^2$ คือ $\frac{c^2}{4}$ เมื่อ$x=\frac{c}{2}$ สำหรับค่านี้ไม่มีค่าต่ำสุดเพราะว่าเมื่อค่า$x$ มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ$cx-x^2$ ก็จะน้อยลงไปเรื่อยๆเช่นกัน.การประยุกต์ใช้ ถ้าให้หาค่าสูงสุดของ $24-4x^2$ เราก็แปลงเป็น $4(6x-x^2)$ แล้วใช้ความรู้ข้างต้น เราจะรู้เลยว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าของ$x=3$ และค่าสูงสุดของ $24-4x^2$ คือ $36$.เช่นเดียวกับอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้หาค่าสูงสุดของ $50+24x-4x^2$ เราก็ลองแค่$24x-x^2$ เก็บค่า$50$ ไว้ก่อน ก็จะได้ว่าค่าสูงสุดของ $50+24x-4x^2$ คือ $86$

ทฤษฎีบทย่อย 1....ค่าต่ำสุดของ$x^2-cx$ เท่ากับ $-\frac{c^2}{4} $ เกิดขึ้นที่ค่า$x=\frac{c}{2} $......เพราะว่า $x^2-cx$ คือ $-(cx-x^2)$

ทฤษฎีบทย่อย 2....ถ้าตัวแปร$x,y$ สอดคล้องกับ $x+y=c$ ผลคูณของ$xy$ มีค่าสูงสุดเมื่อ$x=y=\frac{c}{2}$
สังเกตเห็นว่า$y=c-x$ และ $xy=x(c-x)=cx-x^2$.....แล้วใช้ทฤษฎีบท 2.2a

ทฤษฎีบทย่อย 3....ถ้าตัวแปรที่มีค่าเป็นบวกสองจำนวนคือ$x,y$ มีผลคูณเท่ากับ$c$ ซึ่ง$c$ เป็นค่าคงที่ที่มีค่าเป็นบวก แล้วผลบวกที่มีค่าน้อยที่สุดของ$x+y$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $x=y=\sqrt{c} $
$x+y=x+\frac{c}{x} =(\sqrt{x} -\sqrt{\frac{c}{x} } )^2+2\sqrt{c}$
ค่าน้อยที่สุดของ$x+y$ เกิดขึ้นเมื่อกำลังสองเป็นศูนย์ ดังนั้น$\sqrt{x} =\sqrt{\frac{c}{x} }$ ซึ่ง$x=\sqrt{c}$ และ $y=\sqrt{c}$
สิ่งที่ต้องย้ำเตือนคือ $x,y$ ต้องเป็นค่าบวกเท่านั้น ถ้าไม่กำหนด เราจะหาค่าต่ำสุดหรือน้อยที่สุดของ$x+y$ไม่ได้ ลองดูตัวอย่างนี้ ให้$xy=25$ แล้ว$x,y$ เป็นค่าลบได้ เราจะสร้างผลบวกมีค่าน้อยเท่าไหร่ก็ได้ตามต้องการ.

[กิตติ]

ตัวอย่างที่1...
จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของจำนวนจริงบวกใดๆกับส่วนกลับของตัวมันเอง มีค่าน้อยที่สุดคือ $2$

ให้หาผลบวกของ$x+\frac{1}{x} $....เราประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 3
เห็นชัดๆว่า$x\times \frac{1}{x}=1$
ค่าน้อยที่สุดเกิดขึ้นเมื่อ $x=\frac{1}{x}$ ,$x^2=1$ ,$x=1$
เราไม่เลือก$x=-1$ เพราะโจทย์กำหนดว่า$x$ เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของ$x+\frac{1}{x}$ คือ $2$

ตัวอย่างที่2...
ให้$a,b$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก,จงหาค่าน้อยที่สุดของ$ax+\frac{b}{x} $สำหรับทุกค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนบวก

ประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 3อีกเช่นกัน
$ax \bullet \frac{b}{x}= ab$ ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของ$ax+\frac{b}{x}$ เกิดขึ้นเมื่อ$ax=\frac{b}{x}$
$x^2=\frac{b}{a} $ ,$x=\sqrt{\frac{b}{a} } $
ค่าน้อยที่สุดเท่ากับ $2\sqrt{ab} $

ตัวอย่างที่3...
ให้$a,b$ และ$c$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก,สำหรับจำนวนจริง$x,y$ ที่สอดคล้องกับ $ax+by=c$ จงหาค่ามากที่สุดของ$xy$

ให้ $u=ax$ และ $v=by$ จะได้ว่า $u+v=c$...ประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 2
$uv$ มีค่ามากที่สุดเมื่อ $u=v=\frac{c}{2} $
$uv=abxy$ หรือ $xy=\frac{uv}{ab} $....ซึ่ง$uv$ ที่มีค่ามากที่สุดจะทำให้ค่าของ $xy$ มากที่สุดด้วย
$u=v=\frac{c}{2}=ax=by$ ,$x=\frac{c}{2a} $ ,$y=\frac{c}{2b}$
ค่ามากที่สุดของ$xy$ เท่ากับ $\frac{c^2}{4ab}$

[กิตติ]

ทฤษฎีบท 2.2b...สำหรับจำนวนจริง$a,b$ จะได้อสมการว่า
$$a^2+b^2\geqslant 2ab,\left(\,\frac{a+b}{2} \right)^2\geqslant ab,\left(\,a+b\right)^2\geqslant 4ab $$

อสมการนี้จะเปลี่ยนเป็นสมการเมื่อ $a=b$
และถ้า$a,b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ค่าลบ(nonnegative) จะได้ว่า
$$\frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab} $$
อสมการนี้จะเปลี่ยนเป็นสมการเมื่อ $a=b$
สำหรับกรณีท้ายนี้ หากไม่ระบุว่าเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ สมมุติให้$a=b=-6$....อสมการนี้ $\frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab} $จะไม่เป็นจริง

สำหรับการพิสูจน์
$\left(\,a-b\right)^2\geqslant 0 $ , $a^2-2ab+b^2\geqslant 0$
และจะได้อีกว่ามีอสมการ $\left(\,a-b\right)^2> 0 $ เมื่อ $a\not= b$

$\left(\,\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)^2 \geqslant 0 $ , $a-2\sqrt{ab}+b\geqslant 0$

[กิตติ]

แบบฝึกหัด
1.ให้$a,b$ และ $c$ เป็นค่าคงตัวที่เป็นบวก,สำหรับทุกๆจำนวนบวก$x,y$ ที่มีผลคูณ$xy$ เท่ากับ $c$
จงหาค่าน้อยที่สุดของ$ax+by$

2.ถ้า $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่แต่ละตัวมีค่าไม่เท่ากันแล้ว จงพิสูจน์ว่า
$$a^2+b^2+c^2>ab+ac+bc$$

3.จงหาจำนวนจริงที่มีตัวมันเองมีค่ามากกว่ากำลังสองของค่านั้นมากที่สุด

4.ถ้าค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของจำนวนบวกสองจำนวน $a,b$ คือ ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับของตัวมันเอง เขียนได้เป็น
$$\left[\frac{\left(\,\frac{1}{a} +\frac{1}{b} \right) }{2} \right]^{-1} $$
จงพิสูจน์ว่า ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค เขียนได้เป็น$\frac{2ab}{(a+b)} $
และถ้า$a\not= b$ จงพิสูจน์ว่า ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค มีค่าน้อยกว่า ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
$$\dfrac{a+b}{2}>\sqrt{ab} > \frac{2ab}{(a+b)} $$
ถ้า$a=b$ แล้วค่าเฉลี่ยทั้งสามมีค่าเท่ากัน

5.ให้ $c$ เป็นค่าคงตัวที่เป็นบวก,จงหาค่าน้อยที่สุดของ $x^4+2y^4$ สำหรับจำนวนบวก $x,y$ ที่สอดคล้องกับ $xy=c$

6.$a,b$ และ $c$ เป็นค่าคงตัวที่เป็นบวก, จงหาค่าน้อยที่สุดของ $x^2+y^2+ax+by+c$ สำหรับจำนวนจริง $x,y$

7. $c$ เป็นค่าคงตัวที่เป็นบวก และ $x$ เป็นจำนวนบวก,จงพิสูจน์ว่า
1) เมื่อ $x>c$ แล้วค่าของ $2cx-x^2$จะลดลง และค่าของ$x+\frac{c^2}{x} $ มีค่าเพิ่มขึ้น
2) เมื่อ $x<c$ แล้วค่าของ $2cx-x^2$จะลดลง และค่าของ$x+\frac{c^2}{x} $ มีค่าเพิ่มขึ้น

8.ถ้า$x,yr,s$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $x^2+y^2=1$ และ $r^2+s^2=1$ จงหาค่าสูงสุดของ$xr+ys$

9.$x,y$ เป็นจำนวนที่สอดคล้องกับ$20x+y=180$ ,จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นบวกของ $xy$

10.รถบรรทุกวิ่งเป็นระยะทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็วคงที่ โดยกฎหมายกำหนดช่วงความเร็วไม่น้อยกว่า35และไม่เกิน 55 ไมล์ต่อชั่วโมง.รถบรรทุกใช้น้ำมันในอัตราเท่ากับ$1+\frac{x}{40} +\frac{x^2}{300} $ แกลลอนต่อชั่วโมงเมื่อวื่งด้วยความเร็ว $x$ ไมล์ต่อชั่วโมง.น้ำมันที่ใช้ราคา $k$ ดอลลาร์ต่อแกลลอน และค่าจ้างคนขับเท่ากับ $8k$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง จงหาความเร็วของรถบรรทุกที่มีค่าใช้จ่ายรวมทั้งหมดน้อยที่สุด(รวมค่าน้ำมันและค่าจ้างคนขับรถบรรทุกด้วย)

[lek2554]

เพิ่งเปิดมาเจอวันนี้ครับ ขอบคุณครับสำหรับการนำข้อมูลดี ๆ มาแบ่งบัน แต่ยังไม่มีเวลาอ่านเลยครับ ตอนนี้งานเยอะมาก

ขอบคุณมากครับ

น้องบนบอร์ดนี้

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณครับ จะลองไปอ่านดู

[yellow]

ขอบคุณมากครับ



คงมาอ่านละเอียดๆ ตอนเสาร์อาทิตย์