|
|
#5
28 กรกฎาคม 2017, 21:53
|
||||
|
||||
$\boxed{\text{Note: หลักหน่วยของกำลังสองสมบูรณ์ เป็นได้แค่ } 0,1,4,5,6,9}$
เนื่องจากเราต้องการทราบค่ามากสุดซึ่งการเปรียบเทียบค่านั้น แน่นอนอย่างแรกที่จะพิจารณาคือหลักร้อย สมมติว่า จำนวนนั้นเขียนในระบบเลขฐานสิบเป็น $abc$ โดยคุณสมบัติจากโจทย์ได้ว่า $\boxed{100a+10b+c=a+b^2+c^3}$ --- (I) $a+b^2+c^3\leqslant 9+9^2+9^3=819$ จาก (I) ได้ว่า $a \le 8$ ถ้า $a=8$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $800$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $2$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้ ถ้า $a=7$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $700$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $6$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $3$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้ ถ้า $a=6$ จะได้ว่า $c\not= 9$ เพราะค่าฝั่งขวาจะเกิน $699$ แน่นอน ดังนั้น $a+b^2+c^3 \le 6+9^2+8^3=599$ ขัดแย้งอย่างชัดเจน เพราะค่าฝั่งขวายังไม่ถึง $600$ ถ้า $a=5$ จะได้ว่า $c=8$ เพราะไม่เช่นนั้นจะทำให้ค่าฝั่งขวามากกว่า $599$ หรือน้อยกว่า $500$ ตอนนี้พิจารณาหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $b^2$ คือ $1$ จะได้ $b=1,9$ ณ ตอนนี้ถึงบทสรุปแล้ว ตรวจสอบว่าค่า $598$ มีคุณสมบัติตามสมการ (I) หรือไม่ ถ้าใช่ $598$ ก็จะเป็นแชมป์ค่ามากสุด ซึ่งทำให้ได้คำตอบ พบว่า $598=5+9^2+8^3$ จริง ดังนั้น คำตอบคือ $598$ 28 กรกฎาคม 2017 22:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai 
|
|
#6
28 กรกฎาคม 2017, 22:08
|
||||
|
||||
|
มีคำถามเพิ่มเติมอยากให้ลองคิดดูว่า นอกจาก $598$ มีจำนวนสามหลักอื่นที่มีคุณสมบัติตามโจทย์ มีอะไรบ้าง
แนะนำว่าอย่าพึ่งคลิกด้านล่าง อยากให้ลองคิดดูก่อนนะครับ ถ้าคิดได้แล้วอยากตรวจคำตอบก็คลิกได้เลยครับ
|
  |
|
|
โจทย์ AMC
