โจทย์ปัญหา PDE.

[konkoonJAi]

Find the general solution of equation
$$x^2u_{xx}-y^2u_{yy}-2yu_y=0$$
ผลเฉลยคือ $u(x,y)=(\displaystyle{\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}\varphi (xy)+\varphi(\frac{y}{x})}$
ทำโดยวิธี transfrom เป็น $\xi$ กับ $\eta$ โดยให้
$\xi = \displaystyle{\frac{y}{x}}$ และ $\eta = xy$
แทนค่าในสมการจะกลายเป็น
$$4y^2u_{\xi \eta }+\frac{2y}{x}u_\xi +2xyu_\eta =0$$
ทีนี้มันทำต่อไม่ได้อ่ะค่ะ ไม่รู้ว่าจะทำไงต่อ

[M@gpie]

เปลี่ยน $x,y$ ให้เป็น $\xi, \eta$ สิครับ จะได้สมการที่อยู่ในรูป $\xi, \eta$ โดยสมบูรณ์แล้ว ... ก็แก้ ยังไงผมก็ยังไม่รู้ แหะๆๆ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ konkoonJAi

แทนค่าในสมการจะกลายเป็น
$$4y^2u_{\xi \eta }+\frac{2y}{x}u_\xi +2xyu_\eta =0$$

I think it should be $$ 2\xi u_{\xi \eta }+u_\eta =0$$

After solving this, I got the same solution as above. (Did you miss a bracket in your solution ?)

p.s. Hope you get good score today krab

[konkoonJAi]

ขอบคุณ คุณ M@gpie และ คุณ passer-by มาก ๆ นะคะ สอบเสร็จแล้วค่ะ
ข้อสอบเท่าที่จำได้
find the general equation equation
1.$u_{xx}+10u_{xy}=117u_{yy}$
2.$2u_{xy}-16x^2e^{2y}=0$
3.$u_{xx}-yu_{x}=cosx-ysinx$
ข้อ 4-8 โจทย์ยาวค่ะ จำไม่ได้แล้ว เป็นโจทย์เกี่ยวกับสมการ hyperbolic,parabolic และ elliptic
9.Use the separation of variables, find the solution of equation
$$u_x=2u_y+u$$
with the condition $u(x,o)=3e^{-5x}+2e^{-3x}$
10.Use the separation of variables, find the solution of equation
$$u_x-u_y+3u_z=0$$
คงได้คะแนนอยู่มั้งคะ
ข้อ 4-8 บางข้อก็ทำไม่ได้ ก็เลยตอบติดอยู่ในรูป canonical form คงจะได้คะแนนบ้างนิด ๆ หน่อย ๆค่ะ ( )

[Rationalism]

[quote=konkoonJAi;22948]Find the general solution of equation
$$x^2u_{xx}-y^2u_{yy}-2yu_y=0$$

ให้ u = ln x
v = ln y

[SuperHero_Am_Pro]

เก่งจังเลยครับ ผมคิดม่ายอออออกกกกก