โจทย์อสมการแปลกๆ

[jabza]

1.$ให้ a,b,c,d,e เป็นจำนวนจริง$

$ a+b+c+d+e = 8$

$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 16$

$จงหาค่าสูงสุดของeที่เป็นไปได้$

ปล.ผมหาค่าสูงสุดของ $ a + b + c + d + e = 4\sqrt{5} $แต่ไปต่อมะได้ ช่วยคิดT

[M@gpie]

โดยอสมการโคชี จะได้ว่า \[ (8-e)^2 = (a+b+c+d)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\]
หรือ \[ (8-e)^2 \leq 4(16-e^2)\]
หาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $e$ ได้เท่ากับ $\frac{16}{5}$ ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

โดยอสมการโคชี จะได้ว่า \[ (8-e)^2 = (a+b+c+d)^2 \geq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\]
หรือ \[ (8-e)^2 \geq 16-e^2\]
หาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $e$ ได้เท่ากับ $\frac{16}{5}$ ครับ

ผมก็ได้คำตอบ $\frac{16}{5}$ เหมือนกัน
แต่ผมว่าเหตุผลไม่น่าจะใช่นะครับ อสมการโชี่ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a_i, b_i$ เป็นจำนวนจริงบวก แต่ในที่นี้เป็นจำนวนจริง และจากข้างบน
ถ้ายอมให้ใช้ เครื่องหมายอสมการก็ไม่น่าจะใช่นะครับ ควรจะเป็น $(8-e)^2 = (a+b+c+d)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)$
ถ้าผมเข้าใจผิดก็รบกวนช่วยอธิบายให้ทีครับ

[M@gpie]

อ้อ ผมพิมพ์ คำสั่ง Latex ผิดครับ

ส่วน อสมการโคชี ไม่มีข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมายบวกลบ ครับ ใช้ได้ทุกกรณี โดยทั่วไปผมชอบจำเป็นเวกเตอร์มากกว่า เข้าใจง่ายดี

[jabza]

ขอขอบคุณพี่M@gpie และ พี่หยินหยาง ผมเข้าใจแล้วครับ แต่พี่ตอบตรง $ (8-e)^2 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 16 - e^2 $ $มันต้องมี 4ตรงหน้าวงเล็บ 16-e^2มะใช่หรอครับ$

งืมๆ ขอต่ออีก 2ข้อละกัน ช่วยกันหน่อยละกันครับ

1. $ให้ x,y เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ x+y = 30 จงหาค่าสูงสุดของ x^2y $

2. $จงหาค่าต่ำสุดของผลบวก x+y+z เมื่อ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ $ $xy z^2=2500$

ช่วยกันหน่อยนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อ 1. ผมคิดได้ 4000 ครับ ส่วนข้อ2. โจทย์ผิดหรือป่าวครับ

[nooonuii]

1. AM - GM ครับ มองให้เป็น $x + x + 2y = 60$

2. ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มครับ

[jabza]

ผมขอโทษโจทย์ข้อ2ตกเงื่อนไข$ xyz^2=2500$ ข้อ1ผมเข้าใจแล้ว.Thank you.

$ข้อ2.ทำได้ ค่าต่ำสุดของ x+y+z =15\sqrt{2} $ ใช้AM - GMอะครับ
ไม่รู้ถูกหรือเปล่าช่วยเช็คที

[nooonuii]

2. ใช้ AM-GM โดยมองให้เป็น $2(x+y+z)=2x+2y+z+z$

[jabza]

อ้อ ได้ 20 ต่ำกว่าของผมอีกนะครับ แถมวิธียังออกมาง่ายดายมากๆ

ผิดกับของผม ที่ต้องมั่วไปหลายขั้นตอน แล้วได้ค่า$ x = y = z = 5\sqrt{2}$

Solution

$\frac{2x+2y+z+z}{4} \geq \sqrt[4]{4xyz^2} $

$\frac{2x+2y+z+z}{4} \geq 10$

$ x+y+z = 20 $

พี่ทำแบบนี้ใช่ไหมครับ

ขออีกข้อนึงละกัน

1. $ จงหาค่าสูงสุดของผลคูณ xy(72-3x-4y) เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ $

ข้อนี้ไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงครับ

[jabza]

ข้อนี้ใช่ตอบ 1152 หรือเปล่า ครับ

Solution ช่วยตรวจด้วย

$ให้ z = 72 - 3x - 4y $

$3x + 4y + z = 72 $

AM GM จะได้

$ \frac{3x+ 4y + z}{3} \geq \sqrt[3]{12xyz}$

$ \therefore 1152 \geq xyz $

[nooonuii]

1. $ จงหาค่าสูงสุดของผลคูณ xy(72-3x-4y) เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ $

ข้อนี้ไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงครับ

ที่ทำไปถูกแล้วครับ
วิธีคิดก็คือว่าเราต้องทำให้เกิดตัวเลขขึ้นมาให้ได้ โดยกำจัดตัวแปรทิ้งให้หมด
อย่างข้อนี้จะเห็นว่าเข้ารูปแบบของอสมการ AM-GM ซึ่งน่าจะใช้กับตัวแปร $x,y,72-3x-4y$
แต่ถ้าใช้กับสามตัวนี้ตรงๆเรากำจัดตัวแปรไม่ได้ ตัวปัญหามันอยู่ที่ $72-3x-4y$
เราก็ใช้กับชุดนี้แทน $3x,4y,72-3x-4y$ ซึ่งไม่ส่งผลต่อคำตอบ
เพราะ $(3x)(4y)(72-3x-4y)=12xy(72-3x-4y)$
ต่างกันกับโจทย์แค่ตัวเลขที่อยู่ในผลคูณซึ่งเราย้ายข้างไปมาได้อยู่แล้ว

ข้อควรระวัง : อสมการ AM-GM ใช้ได้กับจำนวนจริงที่ไม่ติดลบเท่านั้น
ก่อนใช้งานควรเช็คทุกครั้งว่าตัวแปรที่เราจะนำมาเข้าสูตรอสมการไม่เป็นลบ
อย่างข้อนี้ปัญหาจะอยู่ที่ $72-3x-4y$ ซึ่งมีโอกาสติดลบได้
แต่โจทย์ต้องการค่าสูงสุด ถ้า $72-3x-4y<0$ จะทำให้ $xy(72-3x-4y) < 0$
ซึ่งไม่เกิดค่าสูงสุดแน่ๆ เราจึงคิดแค่กรณี $72-3x-4y\geq 0$ ก็พอครับ