อนุกรม ของ sin และ cos

Monster · #1 02 ตุลาคม 2006, 13:36

หวัดดีคับ ผู้รู้ทุกท่าน หายไปนานเลย ช่วงนี้งานเยอะจัง ไม่ค่อยมีเวลาคิดเลขเลย

หลังจากคิดหาวิธีการหารากสมการกำลัง 5 อยู่นาน ในที่สุดก็หาไม่ได้คับ ทฤษฏีของ Abel เป็นจริง

แฮะ

และยังคิดวิธีการอินทิเกรทแบบใหม่ ก็คิดมาแล้ว แต่มารู้ทีหลังว่าผิด

เลยเลิกล้ม ไปคิดอย่างอื่นแทนครับ จนตอนนี้ผมสามารถ หาอนุกรม ของ sin และ cos ได้แล้ว

คราวนี้ถูกชัวร์ๆครับ เพราะลองกดเครื่องคิดเลขตรวจสอบดูแล้ว แต่ผมกลัวว่าอาจจะมีคนคิดมาได้ก่อน

แล้วน่ะครับ อย่างเช่น จงหาค่าของ

cos 1 + cos 2 + cos 3 + ....... + cos 90 = ?

sin 1 + sin 2 + sin 3 + ....... + sin 90 = ?

เลยอยากถามท่านผู้รู้ในที่นี้ว่าเคยมีใครคิดหาอนุกรม sin และ cos ได้มาก่อนผมรึยังครับ ถ้ามีช่วย

มาบอกหน่อย

หรือใครอยากพิสูจน์ว่าสูตรผมถูกต้องหรือไม่ ก็ตั้งโจทย์อนุกรม มาลองดูก็ได้นะครับ

Mastermander · #2 02 ตุลาคม 2006, 14:33

อนุกรมที่คุณกำหนดมา มีบทความอยู่แล้วในเว็บนี้

แต่ ถ้าคุณช่วยทำข้อนี้จะขอบคุณมากครับ

Evaluate
$$ \cos1+\frac{\cos2}{2}+\frac{\cos3}{3}+... $$

Monster · #3 02 ตุลาคม 2006, 15:45

หา!!! มีคนคิดได้ก่อนซะแร้วเหรอคับ

ถ้างั้นขอผมดูบทความนั้นได้มั๊ยครับ จะดูว่าคิดเหมือนกันรึป่าว ส่วนโจทย์ของคุณ Mastermander

ตอนเลิกงานผมจะเก็บไปคิดครับ ( โจทย์ คุณ Mastermander ยังยากเหมือนเดิมนะ

คับ )

Mastermander · #4 02 ตุลาคม 2006, 16:04

บทความโดย : นาย พงศ์ทอง แซ่เฮ้ง

แถมโจทย์อีก 2 ข้อครับ

1. จงหาค่า x จากสมการ
$$ \sum_{\theta=1}^{999}\sin(x\theta)=\sum_{\theta=1}^{999}\cos(x\theta) $$

2.

Mastermander · #5 03 ตุลาคม 2006, 21:25

Monster · #6 04 ตุลาคม 2006, 10:58

อ้าว พี่กรคิดได้ก่อนแล้วเหรอคับ

วิธีคิดต่างกันเล็กน้อยแต่คำตอบเหมือนกันเลยคับ

ตอนนี้ผมพยายามหาอนุกรมของ tan อยู่ ยังหาไม่ได้เลยคับ เฮ้อ

ขอบคุณ คุณ Mastermander ที่ให้ข้อมูลนะคับ โจทย์ 2 ข้อหลัง พอรู้แนวในการทำแล้วคับ ถ้ารู้

การหาอนุกรม sin และ cos ก็คงทำได้ แต่ข้อแรกที่ให้มา cos1 + (cos2)/2 + (cos3)/3 + .... นี่ทำยังไง

คับ

เฉลยหน่อยคับ

คุณ Mastermander นี่ข้อมูลความรู้แน่นปึ้กแบบนี้ มีหนังสือดีๆแนะนำบ้างมั๊ยคับ ตอนนี้อยาก

ศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมน่ะคับ แบบว่าร้างราไปนาน

Mastermander · #7 04 ตุลาคม 2006, 17:37

I know only the answer is $-\frac{\ln(2-2\cos1)}{2}=0.0420195$...(by program)
Solution in next reply

gon · #8 04 ตุลาคม 2006, 22:39

ที่จริงมีแหล่งรวม E-book แบบหนังสือเป็นเล่ม ๆ มหาศาลอยู่ที่ 2 ที่นะครับ เป็นแบบที่มันหมดอายุทางลิขสิทธิ์ประมาณนั้น เคยตอบไว้ในสักกระทู้หนึ่ง

Mastermander · #9 08 ตุลาคม 2006, 22:14

Short solution
(Editied)

Monster · #10 09 ตุลาคม 2006, 10:12

เป็นการ solve ที่เยี่ยมคับ

สั้นๆ ได้ใจความ

Mastermander · #11 09 ตุลาคม 2006, 19:55

สรุปได้ว่า

$$\sin z+\frac{\sin 2z}{2}+\frac{\sin 3z}{3}+...=\arctan(\frac{\sin z}{1-\cos z})$$
$$\cos z+\frac{\cos 2z}{2}+\frac{\cos 3z}{3}+...=-\frac{\ln(2-2\cos z)}{2}$$

แต่ $\frac{\sin z}{1-\cos z} = \cot\frac{z}{2}=\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{z}{2})$

ดังนั้นจึงได้สูตรสวยๆงามที่เห็นดังนี้

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nz}{n}=\arctan\big(\cot\frac{z}{2}\big)=\arctan\big(\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{z}{2})\big)$$