ช่วยหาค่าต่ำสุดหน่อยนะคะ ยากจัง

N'Nut · #1 10 สิงหาคม 2006, 19:08

ให้ xy + xz + xw + zy + yw +zw = 6
x , y , z , w เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ $(x + y + z + w)^2$
ช่วยหน่อยนะคะ ขอวิธีทำอ่ะ

gools · #2 10 สิงหาคม 2006, 20:16

\[\begin{array}{rcl}(x+y+z+w)^2 &=& x^2+y^2+z^2+w^2+2(xy +xz + xw + zy + yw +zw) \\
&\geq& \frac{2}{3}(xy + xz + xw + zy + yw +zw)+2(xy + xz + xw + zy + yw +zw) \\
&=&\frac{8}{3}(xy + xz + xw + zy + yw +zw)=16 \end{array}\]
ดังนั้นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $(x+y+z+w)^2$ คือ 16 ครับ

gon · #3 10 สิงหาคม 2006, 20:50

กระจายด้านบนผิดหรือเปล่าครับ. 2 หาย

เว้นบรรทัดสักบรรทัดก็น่าจะดีนะครับ.ยาวไปนิด

N'Nut · #4 10 สิงหาคม 2006, 20:58

ทำไมถึงต้องเปนเศษส่วนด้วยละคะ งง ค่ะ

gon · #5 10 สิงหาคม 2006, 21:07

$(x+y+z+w)^2 = (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) + 2(xy + xz + xw + yz + yw + zw)$
$=(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) + 12$

พิจารณา $(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)$
$= \frac{1}{3}[ (x^2 + y^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + w^2) + (y^2 + z^2) + (y^2 + w^2) + (z^2 + w^2)] \cdots (1)$

แต่ $(x-y)^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \ge 2xy \quad \cdots (2)$ เป็นต้น.

จากนั้นประยุกต์อสมการ (2) กับ สมการ (1) ในทุกๆวงเล็บ

gon · #6 10 สิงหาคม 2006, 21:21

วิธีที่ 2 : ใช้อสมการโคชี $(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \quad$
ทุกจำนวนจริง $a_i , b_i$

ต่อจาก $(x+y+z+w)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + 12 \quad \cdots(1)$

โดยอสมการโคชี ให้ $n = 4, b_i = 1 , (a_1, a_2, a_3, a_4) = (x,y,z,w)$

ดังนั้น $4(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) \ge (x+y+z+w)^2$

ถ่ายทอดไปยัง (1) จะได้ว่า
$(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) + 12 \le 4(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)$

ดังนั้น $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \ge 4$

นั่นคือ $(x+y+z+w)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + 12 \ge 4 + 12 = 16$

แก้ไข : ว่าแต่เขา

Mastermander · #7 10 สิงหาคม 2006, 21:36

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ gon:
วิธีที่ 2 : ใช้อสมการโคชี $(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge 2(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \quad$

$$ \bigg(\sum_{i=1}^n a_i^2\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^n b_i^2\bigg) \geq \bigg(\sum_{i=1}^n a_i b_i\bigg)^2 $$

ไม่มี 2 เป็น ส.ป.ส.นิครับ

icecake · #8 15 สิงหาคม 2006, 17:34

ยากอะค่ะ ถ้าให้เป็น

xy + xz + xw + zy + yw + zw = -6

x y z w เป็นจำนวนจริง

\ x = -1 y = 3 z = -1 w = -1

(-1)(3)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(3)+(3)(-1)+(-1)(-1)
= (-3) + 1 + 1 + (-3) + (-3) +1
= -6

ค่าต่ำสุดของ (x + y + z + w)(x + y + z + w)
= ((-1)+(3)+(-1)+(-1))((-1)+(3)+(-1)+(-1))
= 0

OTL.....||ii|| คิดมะออกละ

P.S. xy + xz + xw + zy + yw + zw นี่มาจาก combination ของ x y z w ?? คะ
4C2 = 6