|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
15 พฤศจิกายน 2018, 15:41
|
||||
|
||||
พิสูจน์ว่าเป็นค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ในเรื่องเรขาคณิต
$ ให้\triangle ABC$ เป็น $ \triangle$ ใดๆ
$1. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $PA+PB+PC $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ $2. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PA^2+PB^2+PC^2 $ ทีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ $3. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PD+PE+PF $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ โดย $D,E,F$ เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุด $ P$ มายังด้านของ $\triangle $ $4.$ พิจารณา $\triangle$ ที่มีวงกลมรัศมี $r$ เเนบใน หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่น้อยที่สุด เเละพิสูจน์ $5.$ พิจารณา $\triangle$ ที่เเนบในวงกลมรัศมี $ r $ หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่มากที่สุด เเละพิสูจน์ 15 พฤศจิกายน 2018 15:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Supermath เหตุผล: เเก้ LaTeX 
|
|
#2
19 พฤศจิกายน 2018, 21:36
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 พิสูจน์ ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ ให้จุด $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), P(x, y)$ จะได้ $AP^2 + BP^2 + CP^2 = 3x^2 - 2(x_1+x_2+x_3)x + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 +3y^2 - 2(y_1+y_2+y_3)y + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 $ $= (\sqrt{3}x - \frac{x_1+x_2+x_3}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3}y - \frac{y_1+y_2+y_3}{\sqrt{3}})^2 + \frac{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (y_2-y_3)^2 + (x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2}{3} $ $= (\sqrt{3}x - \frac{x_1+x_2+x_3}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3}y - \frac{y_1+y_2+y_3}{\sqrt{3}})^2 + \frac{AB^2 + BC^2 + CA^2}{3}$ $= (\sqrt{3}x - \frac{x_1+x_2+x_3}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3}y - \frac{y_1+y_2+y_3}{\sqrt{3}})^2 + \frac{c^2+a^2+b^2}{3}$ แต่ $\frac{c^2+a^2+b^2}{3}$ เป็นค่าคงตัว ดังนั้น $AP^2 + BP^2 + CP^2$ จะมีค่าต่ำสุด เมื่อแต่ละวงเล็บ เท่ากับศูนย์ นั่นคือเกิดเมื่อ $x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$ นั่นเอง
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 
|
|
#4
19 พฤศจิกายน 2018, 22:56
|
||||
|
||||
|
- ข้อ 1 คือจุด Fermat point
- ข้อ 2 มีเอกลักษณ์ตัวนึงที่น่าสนใจนะครับคือ $PA^2+PB^2+PC^2 = GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ โดยที่ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ วิธีในการพิสูจน์จะใช้ Stewart's theorem ในการพิสูจน์ โดยลองสังเกตจุดกึ่งกลางของแต่ละด้าน และลองหาความสัมพันธ์บางอย่างดู - ข้อ 4 คำตอบคือ $3\sqrt{3}r^2$ จากความสัมพันธ์ที่ว่า $r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ พอใช้ความจริงจาก AM-GM จะได้ว่า $(s-a)(s-b)(s-c) \le \frac{s^3}{27}$ นั่นหมายความว่า $\boxed{s \ge 3\sqrt{3}r}$ คราวนี้มาดูที่จากความจริงว่าพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\boxed{rs\ge 3\sqrt{3}r^2}$ โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 19 พฤศจิกายน 2018 23:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
|
|
#5
20 พฤศจิกายน 2018, 22:48
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา
|
|
#8
28 พฤศจิกายน 2018, 20:34
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 ที่ผมมีอยู่ตอนนี้ก็มีหลายแบบนะแต่ขอยกซักตัวอย่างนึงที่ผมชอบมากที่สุดละกัน ขอเรียกจุด $F$ แทนจุด Fermat-Torricelli's point พิจารณาจุด $P$ ดังภาพ เราจะหมุนจุด $A$ และจุด $P$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 60 องศา โดยมีจุด $B$ เป็นจุดศูนย์กลางการหมุน ก็จะได้ตามภาพ ผมจะให้สีแดง เขียว ฟ้าที่เหมือนกันแทนความยาวด้านที่เท่ากัน ($PA=P'A'$ และ $PB=PB'$ นั่นก็มาจากการหมุนไม่ได้เปลี่ยนความยาวของเส้น และจาก $PB=PB'$ และ $\angle PBP'=60^\circ$ ก็ได้อีกว่า $\bigtriangleup PBP'$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) ดังนั้น $PA+PB+PC=P'A'+PP'+CP \ge CC' = FA+FB+FC$ (สมการสุดท้ายเป็นจริงก็เพราะว่าจุด $F$ อยุ่บนเส้นตรง $A'C$ อยู่ละ แล้วตอนที่หมุนจุด $F$ มาเป็นจุด $F'$ จุดนั้นมันอยู่บนเส้น $A'C$ พอดี ตรงนี้พิสูจน์ไม่ยากครับลองดูการหมุนรูปดูครับ) 29 พฤศจิกายน 2018 08:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
|
|
#9
30 พฤศจิกายน 2018, 14:52
|
||||
|
||||
|
ข้อ1ถ้ามองเป็นคำถามในเชิงเศรษฐศาสตร์ได้นะครับ เช่นการจัดสรรปันส่วนผลประโยชน์สามฝ่าย คือถ้าเราเอาประโยชน์เฉพาะแต่ละฝ่าย เป็นที่ตั้งแน่นอนส่วนรวมย่อมเสียประโยชน์มาก แต่ถ้ามีการร่วมมือกันบางส่วนฝ่ายที่ร่วมมือกันได้ประโยชน์มาก ฝ่ายที่เหลือเสียประโยชน์และส่วนรวมก็อาจได้ประโยชน์แต่ไม่มาก และถ้าจะให้แต่ละฝ่ายได้ประโยชน์เท่ากัน ส่วนรวมก็จะได้ประโยชน์มากแต่ยังไม่ถึงกับมากที่สุด แต่จุดเฟอรแมทกับคู่หูของเขาบอกเราว่าส่วนรวมจะได้ประโยชน์สูงสุดไม่จำเป็นที่ทุกฝ่ายต้องได้ประโยชน์เท่ากันไม่เสียเปรียบกัน
....ในส่วนของคณิตศาสตร์คิดว่าน่าจะหาสมการพหุนามกำลังสามมาเป็นคำตอบได้นะครับสำหรับปัญหานี้
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#10
02 ธันวาคม 2018, 18:18
|
||||
|
||||
|
ขอข้อ 2 นิดนึงอย่างที่ผมเคยบอกไปว่ามีเอกลักษณ์ที่น่าสนใจ คือ $PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ เมื่อ $P$ เป็นจุดใดๆ บนสามเหลี่ยม $ABC$ และ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ แต่ผมยังไม่ได้พิสูจน์ เลยอยากขอมาพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ
ผมขอกำหนดเพิ่มอีกหน่อยก็คือให้ $M_A$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $BC$ จะเห็นว่าจากภาพ พิจารณา \begin{align*}PA^2+PB^2+PC^2 &= PA^2+2PM_A^2+2BM_A^2 & \text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PBC \cup M_A$)} \\&= 3(PG^2+GA\cdot GM_A)+2BM_A^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PAM_A \cup G$)} \\&= 3PG^2 +GA^2+2GM_A^2+2BM_A^2 &\text{(ใช้ความสัมพันธ์ของจุดเซนทรอยด์ที่ว่า $GA=2GM_A$)} \\&=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle GBC \cup M_A$)}\end{align*} ตามต้องการ 02 ธันวาคม 2018 18:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
|
|
#11
14 ธันวาคม 2018, 11:38
|
||||
|
||||
|
พหุนามกำลังสามของสามเหลี่ยมในระนาบ
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
เช่นถ้าให้สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาว 3,4และ5 หน่วยตามลำดับ พหุนาม...$$x^3-\alpha x^2+\beta x-\gamma =0...\alpha, \beta ,\gamma \in R^+$$ โดยที่...$\alpha= \sqrt{25+12\sqrt{3} } ,\beta=8\sqrt{3}และ \gamma \approx 8.1673$ จะมีรากสมการเป็น ความยาวของส่วนของเส้นตรง$PA,PBและPCตามลำดับเมื่อPA+PB+PCมีค่าน้อยที่สุดและจุดPเป็นจุดภายในสามเหลี่ยม$ สำหรับสูตรในรูปแบบทั่วไปจะนำมาลงให้ในโอกาสต่อไปนะครับ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
| |
|
|
