log 2 = ?

[TOP]

$\log 2 = ?$

คำถามนี้ง่ายจังเลยครับ แค่จิ้มเครื่องคิดเลขหรือเปิดตาราง logarithm ก็รู้แล้วว่า $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$

แล้วค่าในตาราง logarithm มาจากไหนละ น่าจะมาจากการประมาณด้วยอนุกรมนะ เช่น
\[\ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \right)\ ,\ x > 0\]
แต่หากเรามองย้อนกลับไปดูช่วงที่ John Napier ผู้คิดเรื่อง logarithm มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1550 - 1617 กับช่วงที่ Newton และ Leibniz ผู้คิดเรื่อง Calculus มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1643 - 1727 และค.ศ. 1646 - 1716 ตามลำดับ จะพบว่า สมัยที่ John Napier มีชีวิตอยู่นั้น ยังไม่มี Calculus ครับ ดังนั้นการหาค่า logarithm ด้วยการใช้อนุกรมแบบข้างบนจึงตัดทิ้งได้ เพราะไม่เป็นที่รู้จัก สมัยนั้นก็ไม่มีเครื่องคิดเลขด้วย การคำนวณทุกอย่างต้องใช้มือทั้งสิ้น และ John Napier ใช้เวลาถึง 20 ปี สร้างตาราง logarithm ของเขาขึ้นมา

ปัญหาจึงมีอยู่ว่า หากต้องคำนวณค่า logarithm โดยไม่มีตาราง logarithm และไม่ใช้อนุกรมที่ได้จาก Calculus เราจะมีวิธีไหนคำนวณหาค่า logarithm ได้บ้าง

วิธีหนึ่งที่ผมคิดได้ คือขอให้มีความรู้เรื่องการ บวก ลบ คูณ หาร และ ถอดรากที่สอง ก็สามารถหาค่า logarithm ได้แล้วละ จากนั้นก็อาศัยพลังเข้าฟาดฟันกับมัน

สมมติว่าเราจะหาค่า $\log 2$

ขั้นแรก เริ่มจากสร้างตาราง รากที่สองของ 10 ดังนี้
$\begin{array}{rcl}
10 & = & 10 \\
10^{1/2} & = & 3.1622776601683793319988935444327 \\
10^{1/2^2} & = & 1.7782794100389228012254211951927 \\
10^{1/2^3} & = & 1.3335214321633240256759317152953 \\
10^{1/2^4} & = & 1.1547819846894581796664828872955 \\
10^{1/2^5} & = & 1.0746078283213174972159415319643 \\
10^{1/2^6} & = & 1.0366329284376979972916517249253 \\
10^{1/2^7} & = & 1.0181517217181818414742268885788 \\
10^{1/2^8} & = & 1.0090350448414474377592544239064 \\
10^{1/2^9} & = & 1.0045073642544625156647946943413 \\
10^{1/2^{10}} & = & 1.0022511482929129154656736388666 \\
10^{1/2^{11}} & = & 1.0011249413998798758854264343657 \\
10^{1/2^{12}} & = & 1.0005623126022086366185113678096 \\
10^{1/2^{13}} & = & 1.0002811167877801323992573657697 \\
10^{1/2^{14}} & = & 1.0001405485169472581627711878589 \\
10^{1/2^{15}} & = & 1.0000702717894114355388136386765 \\
10^{1/2^{16}} & = & 1.0000351352774618566085823358616 \\
10^{1/2^{17}} & = & 1.0000175674844226738338472652737 \\
10^{1/2^{18}} & = & 1.0000087837036346121465743155693 \\
10^{1/2^{19}} & = & 1.000004391842173167236282001464 \\
10^{1/2^{20}} & = & 1.0000021959186755542033171375055
\end{array}$

ตารางข้างบนทำโดยใช้เครื่องคิดเลข สำหรับแม่ค้าขายของทั่วไปได้ง่ายมากครับ กดเลข 10 แล้วก็จิ้ม $\surd$ ไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง

ต่อมาจึงพิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $2$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^2} = 1.7782794100389228012254211951927$
ยังขาดไปอีก $2 \div 1.7782794100389228012254211951927 = 1.1246826503806981607899020795534$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.1246826503806981607899020795534$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^5} = 1.0746078283213174972159415319643$
ยังขาดไปอีก $1.1246826503806981607899020795534 \div 1.0746078283213174972159415319643 = 1.0465982293629893761953411005278$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0465982293629893761953411005278$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^6} = 1.0366329284376979972916517249253$
ยังขาดไปอีก $1.0465982293629893761953411005278 \div 1.0366329284376979972916517249253 = 1.0096131433334941539874965186868$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0096131433334941539874965186868$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^8} = 1.0090350448414474377592544239064$
ยังขาดไปอีก $1.0096131433334941539874965186868 \div 1.0090350448414474377592544239064 = 1.0005729221150466131704544736729$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0005729221150466131704544736729$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{12}} = 1.0005623126022086366185113678096$
ยังขาดไปอีก $1.0005729221150466131704544736729 \div 1.0005623126022086366185113678096 = 1.0000106035503279989646029820064$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0000106035503279989646029820064$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{18}} = 1.0000087837036346121465743155693$
ยังขาดไปอีก $1.0000106035503279989646029820064 \div 1.0000087837036346121465743155693 = 1.000001819830708533209106719663$

พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.000001819830708533209106719663$ มากที่สุด
พบว่า ตารางที่ทำไว้ให้ความละเอียดมากกว่านี้ไม่ได้แล้ว จึงยุติเพียงเท่านี้

เราจึงได้ $10^{1/2^2 + 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^{12} + 1/2^{18}} = 10^{0.301029205322265625} = 1.9999963603452064891434777135859 \approx 2$
ดังนั้น $\log 2 \approx 0.301029205322265625$
ลองเปรียบเทียบกับค่าที่แม่นยำกว่าคือ $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
ก็จะเห็นว่าถูกต้องถึง ทศนิยมตำแหน่งที่ 6

[t.B.]

โฮะๆ อ่านไป2บทความติดเรื่อง resultant<<พึ่งรู้ว่ามีแบบนี้ด้วย แล้วก็บทความนี้ เป็นกำลังใจให้ลงบทความแจกความรู้แปลกๆไปเรื่อยๆอีกนะครับ

ปล.ถ้ารีเควสได้นี่เยี่ยมเลยครับ อิอิ มีหลายเรื่องที่อยากรู้ไปหมดแต่ไม่มีใครสอนพอไปหาอ่านก็อ่านไม่รู้เรื่องเพราะอธิบายไม่ละเอียด

[TOP]

บทความย่อยเหล่านี้มักจะแทรกอยู่ตามบทความใหญ่ที่พี่เขียนอยู่แล้วละครับ หากใครเห็นชื่อบทความใหญ่แล้วปล่อยผ่านไป ก็จะพลาดบทความย่อยเหล่านี้ไปด้วย

เรื่องขอบทความเป็นไปได้ยากครับ ส่วนใหญ่บทความที่พี่เขียนจะเกิดจากความอยาก ไปอ่านเนื้อหาที่น่าสนใจ หรือเกิดความคิดอะไรบางอย่างแล้วลองศึกษาค้นคว้าเพิ่มเติมในเรื่องนั้น จนได้ข้อสรุปตามความอยาก แล้วจึงนำมาเขียน

แต่ถ้าขอแบบไม่เจาะจงใครเป็นพิเศษ อาจพอมีหวังบ้าง

อ้อ แล้วอย่ามาตั้งหัวข้อขอบทความในห้องบทความละ เดี๋ยวจะโดนแจกใบแดง เพราะเมื่ออนุญาตให้ตั้งหัวข้อแบบนั้นได้ ก็มักจะมีแต่หัวข้อขอบทความ จนแทบจะหาหัวข้อที่เป็นบทความไม่เจอ

[Sly]

เยี่ยมยุทธจริงๆท่าน ข้าน้อยดูจนตาลายเลย

[bell18]

ดีมากครับคุณ TOP นี่ถ้ารวบรวมแล้วนำเสนอเป็นเล่มออกวางจำหน่ายที่ร้านหนังสือก็ดีนะครับ
เด็กๆที่สนใจคณิตศาสตร์จะได้มีพลังในการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเหล่าจอมยุทธทั้งหลายใน Math Center นี่ไงครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ขอปริ๊นออกมาอ่านหน่อยนะครับ กำลังศึกษาเรื่องนี้พอดีเลยครับ

[คusักคณิm]

ยอดเยี่ยม!! ถ้าเอามาเป็นหนังสือคงขายดีมากเลย จองเป็นคนแรก

[mathematiiez]

อื้ม ดีค่ะ หนังสือดีๆ แจ่มๆ
บทความอย่างนี้อ่านแล้วก็..มึนๆนะ แต่ก็จะพยายามอ่านให้เข้าใจที่สุด เพราะคิดว่ามันคงมีประโยชน์มากแน่เลย
^^

[B บ ....]

เห็นด้วยครับ อยากรู้ที่มาของ ค่า log ต่างๆ ตั้งนานและครับ
เราได้แต่ใช้กัน แต่ไม่รู้ที่มา
ในที่สุดก็พอจะรู้และ
ขอบคุณคราบบบ

[ปลากะพง ณ บาดาล]

ขอบคุณครับท่านจอมยุทธ์

ขอถามหน่อยครับ วิธีการคำนวณนี้ คือวิธีที่ใช้ในเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์หรือเปล่าครับ?

[Eacary]

ขอบคุณครับ คนไม่ได้เรียน เริ่มจะเข้าใจแล้วครับ อย่างที่ว่านะครับ ถ้าเขียนลงหนังสือ ผมขอจองอีกคนนะครับ อิอิ

[Love math]

ผมอ่านตั้งนานก็รู้ที่มาของlogarithm
ขอบคุณพี่มากครับ

[คนบนฟ้า]

นี่เป็นการคิดแบบที่เครื่องคิดเลขทำป่าวครับ