ถามโจทย์ทฤษฎีจำนวน เกี่ยวกับการหารลงตัว

[butare]

ผมคิดว่าน่าจะตอบ 120 แต่พิสูจน์ยังไงช่วยแนะหน่อยครับ

[FranceZii Siriseth]

พิจารณา $\dbinom{n+4}{5}$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
$\dbinom{n+4}{5}=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$

ส่วนการแสดงต่อว่าเป็นค่ามากที่สุดลองคิดดูครับ

[ฮุฮุฮ่าๆ]

จะได้ว่า a|n , a|n+1, a|n+2, a|n+3, a|n+4 จะพบว่า a|1,2,3,4 ลงตัว ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a คือ 1 เพราะฉะนั้น ค่ามากสุดของ n คือ 1
จะได้ว่า 1x2x3x4x5=120

[butare]

a|n , a|n+1, a|n+2, a|n+3, a|n+4 ไม่จำเป็นที่ a|1,2,3,4 รึเปล่าครับ
ยังงงอยู่

[butare]

แล้ววิธีของคุณ FranceZii Siriseth ใช่เรื่องคอมบิเนชั่นไมครับ แล้วทำไมถึงรู้ว่าจำนวนในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มครับ

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ butare

แล้ววิธีของคุณ FranceZii Siriseth ใช่เรื่องคอมบิเนชั่นไมครับ แล้วทำไมถึงรู้ว่าจำนวนในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มครับ

$\binom{n+4}{5} $ คือวิธีการเลือกของ 5 สิ่งมาจากของ n+4 จึงต้องเป็นจำนวนเต็มแน่นอนครับ

จากวิธีของคุณ FranceZii Siriseth
$\binom{n+4}{5}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} $
จะได้ว่า n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) หารด้วย 5! ซึ่งเท่ากับ 120 ลงตัว

พิสูจน์ว่า 120 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
เนื่องจากต้องนำไปหาร n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ลงตัว สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ n=1 ซึ่ง n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=120
ดังนั้น ไม่มีจำนวนที่มากกว่า 120 ที่นำไปหาร n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ลงตัว
ตอบ 120

[ฮุฮุฮ่าๆ]

โทษนะครับ แล้ววิธีผมนี่ใช้ได้หรือเปล่าครับ

[butare]

ขอบคุณมากครับคุณ
pont494 และคุณFranceZii Siriseth เข้าใจแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฮุฮุฮ่าๆ

โทษนะครับ แล้ววิธีผมนี่ใช้ได้หรือเปล่าครับ

ถ้าคิดว่าใช้ได้ลองอธิบายเหตุผลหน่อยมั้ยครับว่าทำไมแต่ละขั้นตอนที่เขียนมาถึงใช้ได้

[Guntitat Gun]

จากการที่ 120 หาร ${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า
1. ${8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
2. ${3|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
3. ${5|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$

กรณีที่ 1

กรณีที่ 1.1 เมื่อ n เป็นเลขคู่
ให้ n = 2a โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า n ด้วย 2a ในสมการ จะได้ว่า
${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
${= 2a(2a+1)(2a+2)(2a+3)(2a+4)}$
${= 8a(2a+1)(a+1)(2a+3)(a+2)}$
${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$

กรณีที่ 1.2 เมื่อ n เป็นเลขคี่
ให้ n = 2b+1 โดยที่ b เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า n ด้วย 2b+1 ในสมการ จะได้ว่า
${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
${= 2b+1(2b+2)(2b+3)(2b+4)(2b+5)}$
${= 4(2b+1)(b+1)(2b+3)(b+2)(2b+5)}$
เนื่องจาก ${2b+1, 2b+3, 2b+5}$ เป็นเลขคี่ จะได้ว่า
${2|(b+1)(b+2)}$
จะพิสูจน์ว่า
${2|(b+1)(b+2)}$

กรณี 1.2.1 เมื่อ b เป็นเลขคู่
ให้ b = 2c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า b ด้วย 2c ลงในสมการ จะได้ว่้า
${(b+1)(b+2)}$
${= (2c+1)(2c+2)}$
${= 2(2c+1)(c+1)}$
${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$

กรณี 1.2.2 เมื่อ b เป็นเลขคี่
ให้ b = 2d+1 โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า b ด้วย 2d+1 ลงในสมการ จะได้ว่้า
${(b+1)(b+2)}$
${= (2d+2)(2d+3)}$
${= 2(d+1)(2d+3)}$
${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$

${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$

พอได้ไหมครับ ผมมาถูกทางรึเปล่า
เดี๋ยวผมจะมาต่ออีกสองข้อ กับพิสูจน์ว่า หารจำนวนที่มากกว่า 120 ไม่ได้นะครับ

ผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ
--ขอคารวะ--

[FranceZii Siriseth]

ลองพิจารณาจำนวนที่ใหญ่กว่า 120 ดูก็ได้ครับ
สมมติว่ามี $p \ge 7$ ที่ทำให้ $ p \mid (n)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \forall n$
เราลองแทน $n=8$ จะได้ว่าจำนวนต่อไปที่จะทำให $p$ หารลงตัวคือ $2p$ ซึ่งจะอยู่ห่างจาก $p$ มากกว่า $5$ แน่นอนครับ

[polsk133]

แทน n=1 ได้ ก้อนนั้นคือ 120 ดังนั้น 120มากสุดแล้วครับ