ช่วยคิดหน่อยครับ

[tatari/nightmare]

1.ให้ $a,b,c,d\in\mathbb{R}^{+}$ จงหาค่าที่ต่ำที่สุดของ $$(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d})$$
2. ให้ $x(t)=5(t+1)^2+\dfrac{a}{(t+1)^2}$ จงหาค่า $a$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $x(t)\geq 24,\forall t\geq 0$
3.ให้ $a,b,c,d>0$ และ $c^2+d^2=(a^2+b^2)^3$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{d}\geq 1$$ และอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $ad=bc$

[Erken]

1.Cauchy-schwarz ; L.H.S. $\geq$ $(1+1+2+4)^{2}$

[Erken]

3. Cauchy-schwarz ; $(\frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{d})(ac+bd) \geq (a^2+b^2)^2.........(1)$
Cauchy-schwarz ; $ac+bd \leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} = (a^2+b^2)^2$............(2)
จาก (1),(2) จะได้ว่า L.H.S. $\geq$ 1

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

2. ให้ $x(t)=5(t+1)^2+\dfrac{a}{(t+1)^2}$ จงหาค่า $a$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $x(t)\geq 24,\forall t\geq 0$

ใช้อสมการ AM-GM จะได้ $x(t)\geq 2\sqrt{5a}$ อยากได้ $a$ ที่น้อยที่สุดก็จับมาเท่ากับ $24$ ครับ

[tatari/nightmare]

Thank you for the solution