Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 08 เมษายน 2016, 09:52
butare's Avatar
butare butare ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 กรกฎาคม 2008
ข้อความ: 296
butare is on a distinguished road
Default ช่วยหน่อยครับคิดไม่ออก เรื่องหารลงตัว ไม่ถนัดเลย

จงหาว่าจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดกี่จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 2013 ที่ทำให้
n^4+5n^2+9 หารด้วย 5 ลงตัว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 08 เมษายน 2016, 14:55
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

$n^4 \equiv 1 \pmod{5} $
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 08 เมษายน 2016, 16:28
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

แยกเคส $n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$

คุณ กขฃคฅง ครับ ถ้า $5\mid n$ แล้ว $n^4\equiv 0\pmod 5$ นะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 08 เมษายน 2016, 18:39
ohmohm ohmohm ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 กันยายน 2013
ข้อความ: 47
ohmohm is on a distinguished road
Default

$n^4+5n^2+9$ หารด้วย $5$ ลงตัว แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $m$ ที่ทำให้ สมการ $n^4+5n^2+9 = 5m$ เป็นจริง

$n^4+5n^2+9 = 5m$
$n^4+5n^2 = 5m-9$
$n^2(n^2+5) = 5(m-2)+1$

นั้นคือหาว่ามี $n$ ไหนบ้างที่ทำให้ $n^2(n^2+5)$ หารด้วย $5$ แล้วได้เศษ $1$ กำหนด $ mod $ คือตัวดำเนินการหารเอาเศษนะครับ
$(n^2(n^2+5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)((n^2 mod 5) + (5 mod 5))) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)(n^2 mod 5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)^2) mod 5 $
$= ((((n)mod 5)^2)^2) mod 5 $
$= (((n)mod 5)^4) mod 5 $

จะแปลงปัญหานี้ไปเป็นว่า หาว่ามี $n$ กี่ตัว (ในช่วงที่ต้องการ) ที่ทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1
ซึ่งอาจมองได้ว่า ถ้าแปลง n เป็นเลขฐาน 5 มีอะไรบ้างที่ยกกำลัง 4 แล้วลงท้ายด้วยเลข 1
แล้วเนื่องจากเลขที่ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไรก็ยังลงท้ายด้วย 1 และเลขฐาน 10 ถ้าจะแปลงเป็นฐาน 5 โดยต้องการทราบแค่เฉพาะเลขท้าย ก็แค่ mod 5
$0^4=0$
$1^4=1$
$2^4=16=15+1$
$3^4=81=80+1$
$4^4=256=255+1$
นั้นคือ ถ้า n เป็นเลขฐานสิบที่มีเลขท้ายทุกตัวเลขยกเว้นเป็นเลข 0 หรือ 5 จะทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 09 เมษายน 2016, 10:01
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
แยกเคส $n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$

คุณ กขฃคฅง ครับ ถ้า $5\mid n$ แล้ว $n^4\equiv 0\pmod 5$ นะครับ
ผมหมายถึงว่าถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์แล้ว $n^4 \equiv 1 \pmod{5} $ น่ะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 29 เมษายน 2016, 10:27
vorodom's Avatar
vorodom vorodom ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กรกฎาคม 2012
ข้อความ: 140
vorodom is on a distinguished road
Default

ว่าแต่1006ตัวถูกมั่ยครับ
วิธีเห็นn^4+5n^2+9พิจารณาว่าการที่5หารลงตัวและ
เพราะฉะนั้นหลักหน่วยต้องเป็น5n^4+5n^2จึงต้องมีหลักหน่วยเป็น6
ลองแทนค่าหลักหน่วยอย่างเดว
n=1----1^4+5×1^2=10หลักหน่วยไม่เป็น6ก็ใช้ไม่ได้
n=2----6+5×2=6ใช้ได้ต่อไปก็ลองเป็นเลขคู่
n=4----6+5×6=6ก็ใช้ได้ลองต่อไป
.
.
.
n=2012จะได้6+5×4ได้หลักหน่วยเป็น6
เพราะอย่างงั้นจะได้ง่าตัวที่ทำให้5หารลงตัวได้ก็เลยต้องเป็นเลขคู่
เพราะฉะนั้นก็ต้องหารด้วย2ได้และเป็นเลขคู่ใช้ สูตรเลขคณิตหาตามหลัก ของaในพจน์ที่nแล้วก็หามาจะได้1006จำนวน
ถูกมั้ยครับถ้าถูกก็บอกด้วยหรือผิดก็บอกมาเลยครับ
__________________
IF YOU HAVE TIME DON’t WASTE IT
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:44


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha